Un 2-Toro específico en $S^3$

Question

Problema: Considere el conjunto $E = \{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4: \sum_i x_i^2 = 1, x_1x_3 = x_2x_4\}$ (imagina un $2\times2$ matriz real con norma 1 y determinante 0). Demuestre que el conjunto $E$ es un 2-toro.

Intento de solución: El problema parece indicar que un 2-toro está incrustado en $S^3$ lo que intuitivamente tiene sentido, sin embargo me resulta difícil demostrar que este conjunto es realmente un toroide. He intentado parametrizar el conjunto en dos coordenadas:

Parece que los puntos de $E$ puede parametrizarse en términos de dos variables $\theta, \phi \in \mathbb{R}$ por $x_1 = cos\theta \cdot cos\phi$ , $x_2 = cos\theta \cdot sin\phi$ , $x_3 = sin\theta \cdot cos\phi$ y $x_4 = sin\theta \cdot sin\phi$ . Sin embargo, no veo cómo esta parametrización describe un 2-toro... ¡se agradece cualquier ayuda!

Answer 1

La guía de los perplejos ::::: ::: ::: https://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_torus#Formal_definition

Se trata, en efecto, de diagonalizar (ortogonalmente) una forma cuadrática. Introduzca $$ p = \frac{x_1 + x_3}{\sqrt 2} \; , $$ $$ q = \frac{x_1 - x_3}{\sqrt 2} \; , $$ $$ r = \frac{-x_2 + x_4}{\sqrt 2} \; , $$ $$ s = \frac{x_2 + x_4}{\sqrt 2} \; . $$

Todavía tienes $$ p^2 + q^2 + r^2 + s^2 = 1 $$ pero ahora $$ p^2 - q^2 = -r^2 + s^2 \; ,$$ o $$ p^2 + r^2 = q^2 + s^2 = \frac{1}{2} \; \; .$$

Answer 2

À matriz singular de norma 1 tiene columnas dos vectores en el plano que no son simultáneamente cero pero que son linealmente dependientes. Cada una de estas matrices determina así una recta en el plano (que es un punto de la recta proyectiva real, que es un círculo) y el escalar extendido que es el cociente del primer vector por el segundo. Si vemos los escalares extendidos como elementos de la recta proyectiva real de forma obvia y luego como elementos de $S^1$ vemos que cada una de estas matrices determina un punto en un toroide.