Error de truncamiento local y convergencia

Question

Estoy tratando de encontrar el error de truncamiento local y el orden de convergencia del esquema de diferencias finitas $$ \frac{3U^m_n -4U^{m-1}_n + U^{m-2}_n}{2 \Delta t} - \frac{a}{ h^2} \lbrace U^m_{n+1} -2 U^m_n + U^m_{n-1} \rbrace = f(x_n, t_{m}) $$ Usando la expansión de Taylors encontré que el error de truncamiento es $$ \tau(x,t)= f_{t}(x,t) - \frac{\Delta t^2}{3}f_{ttt}(x,t) - \frac{a}{2} f_{xx}(x,t) - \frac{h^2}{24}f_{xxxx}(x,t) + O(\Delta t^3 + h^4) $$ Mi primera pregunta es: ¿Es ésta la forma correcta de mostrar el error de truncamiento?

Mi segunda pregunta es: ¿El error converge con el orden 3 en el tiempo y 4 en el espacio ya que tengo $O(\Delta t^3 + h^4)$ ?

Answer 1

Supongo que estudias la ecuación $v_t-av_{xx}=f(t,x)$ (al menos su esquema lo sugiere) con una solución $u(t,x)$

Se define una función discreta $g(m,n) = u(m\Delta t,n\Delta x)$ y lo conectas a tu esquema. Después de utilizar la expansión de Taylor en un punto bien elegido (pista: $(m\Delta t,n\Delta x)$ ), se obtiene

$$u_t(m\Delta t,n\Delta x)+\mathcal O(\Delta t^2) - a(u_{xx}(m\Delta t,n\Delta x)+\mathcal O(\Delta x^2)).$$ Teniendo en cuenta que la ecuación diferencial se satisface, llegamos a un error de truncamiento $$ \mathcal O(\Delta t^2+\Delta x^2) .$$

Hay un resultado que dice que un esquema lineal con coeficientes constantes y pasos uniformes en el espacio y el tiempo converge con la misma tasa que el error de truncamiento.