Estoy tratando de probar esto pero no lo veo. Estamos hablando de apertura en el sentido métrico, ¿no?
Así que, mi intento es
Dejemos que $x \in \mathbb{R}^n$ y $d$ representan la métrica euclidiana, $d(x,y)=\sqrt{\sum(x_i-y_i)^2}$ . Un balón abierto alrededor de un punto $x$ se define para algún $r>0$ para ser $B_r(a)=\{y \in \mathbb{R}^n:d(x,y)<r\}$ . Tomemos el conjunto único $U=\{u\} \subseteq \mathbb{R}^n$ . Un balón abierto alrededor de cualquier punto de $U$ (que es esencialmente, sólo alrededor del único punto, $u$ ), es $B_r(u)=\{v \in U:d(u,v)<r\}=\{u\}=U$ . Así que un balón abierto en cualquier punto de $U$ es $U$ sí mismo; $d(u,u)=0 < r$ , $\forall r>0$ . Así que por la métrica euclidiana, la bola abierta es esencialmente la esfera $S^n$ con radio $0$ . Pero entonces claramente, $U \subseteq U$ lo que significa que $B_r(u) \subseteq U$ .
entonces concluyo de la definición de conjunto abierto $U$ (en el espacio métrico $(X,d)$ ),
$U$ está abierto en $X$ si y sólo si para cada $u \in U$ , $\exists r>0$ tal que la bola abierta $B_r(u) \in U$
(¿tengo razón...?)
que me dice que, a partir de la última línea he deducido de mi intento que un singleton está realmente abierto en $\mathbb{R}^n$ con la métrica euclidiana.
Reconozco que soy propenso a malinterpretar ideas y definiciones; la topología y el análisis, para mí, son la pura encarnación de la abstracción que consiste esencialmente en pinchar el cerebro humano.
Si hay algún error (estoy seguro de que lo hay) por favor indíquelo y corríjalo explícitamente. Cualquier ayuda de este tipo me ayudaría a aprender mejor, gracias.
