Ecuaciones de transposición SVD

Question

$$Av_i= \begin{cases} \sigma_iu_i & i = 1, \ldots , r \\ 0 & i = r+1, \ldots , m \end{cases}$$

$$A^Tu_i= \begin{cases} \sigma_iv_i & i = 1, \ldots , r \\ 0 & i = r+1, \ldots , m \end{cases}$$

1.) Demuestre que la ecuación superior implica la ecuación matricial $AV = U\Sigma$ .

2.) Demuestre que la ecuación inferior implica la ecuación matricial $A^TU = V\Sigma^T$

3.) Demuestre que cualquiera de las dos implica la SVD $A=U\Sigma V^T$

Entiendo las implicaciones de ambas ecuaciones, sin embargo, no estoy seguro de cómo mostrarlo de forma simplificada.

Answer 1

No has definido las dimensiones de la matriz. Dado que, la SVD es aplicable a las matrices rectangulares, suponemos que $A$ es un $m \times n$ matriz. Además, suponemos que $A$ es una matriz alta; es decir $m \ge n$ . Si $m < n$ trabajamos con la transposición de $A$ . Esta matriz alta tiene $n$ valores singulares pero algunos de ellos podrían ser cero. Ha asumido que sólo hay $r$ valores singulares no nulos. No es necesario asumir esta restricción explícitamente en esta etapa.

Con las nuevas condiciones, la ecuación superior se convierte en $$ Av_i = \sigma_i u_i, \;\; i=1,\ldots,n $$ Apilamos todas las columnas dadas por el $n$ ecuaciones para obtener $$ A[v_1,v_2,\ldots,v_n ] = [u_1,u_2,\ldots,u_n] \left[ \begin{array}{cccc} \sigma_1 & & & \\ & \sigma_2 & & \\ & & & \\ & & & \sigma_n \end{array} \right] $$ que puede ser reconocido como $$ A V = U\Sigma . $$ La anterior es la primera respuesta que requería. Post multiplicación por $V^t$ obtenemos $$ AVV^t = U\Sigma V^t $$ Sin embargo, $VV^t = I$ (la matriz de identidad. Por lo tanto, $ A = U\Sigma V^t$ que es la tercera respuesta que requería. Esta es la "versión económica" de la SVD que no tiene el espacio nulo de la izquierda.

Puedes obtener la segunda respuesta de forma similar a la primera.