Distribución normal

Question

X sigue una distribución normal regular en V con centro $\xi$ y el producto interno $<\cdot,\cdot>$ y que $\eta \neq 0$ sea un vector en V. Demuestre que la variable estocástica del carrete $Y=<X-\xi,\eta>$ sigue una distribución normal con media 0 y varianza $\Vert \eta \Vert ^2$ .

¿Puede alguien ayudarme a empezar con este problema?

Answer 1

Sugerencia: Las combinaciones lineales de variables aleatorias gaussianas independientes (o, en general, conjuntas) también son gaussianas. Se puede demostrar fácilmente con funciones características en el caso independiente, y en el caso conjuntamente gaussiano puede ser la definición.

Tenga en cuenta que $Y = \sum_i (X_i - \xi_i) \eta_i = \sum_i \eta_i X_i - \sum_i \xi_i \eta_i$ . El primer término es una combinación lineal de gaussianos independientes (así $\sum_i \eta_i X_i$ es gaussiano), el segundo término es una constante (por lo que sólo desplaza la media, mostrando $Y$ es gaussiano).

En cuanto al cálculo de la media y la varianza, se puede calcular la media utilizando la linealidad de la expectativa en $Y$ para conseguir $E[Y] = \sum_i \eta_i E[X_i] - \sum_i \xi_i \eta_i = \sum_i \eta_i \xi_i - \sum_i \xi_i \eta_i =0$ .

Como alternativa, en notación matricial, se puede hacer $E[Y] = E[(X - \xi)^T \eta] = E[(X-\xi)^T] \eta = (E[X-\xi])^T \eta = (E[X] - \xi)^T \eta = (\xi - \xi)^T \eta = 0^T \eta = 0$ .

En cuanto a la varianza, hay que tener en cuenta que $Var[Y] = E[Y^2] - E[Y]^2 = E[Y^2] = E[((X - \xi)^T \eta)^2] = E[ (\eta^T (X-\xi)) ((X-\xi)^T \eta)] = \eta^T E[(X-\xi) (X- \xi)^T] \eta = \eta^T I \eta = ||\eta||^2$ .

Esto se desprende de $(X-\xi)^T \eta = <X-\xi,\eta> =<\eta, X-\xi>= \eta^T (X-\xi)$ y $X-\xi \sim N(0,I)$ desde $X \sim N(\xi,I)$ .