una pregunta de geometría muy básica sobre la longitud de la curva

Question

"la longitud de la curva es la suma de todos sus vectores tangentes"

Esto es lo que he oído pero no he podido encontrar en ningún libro.

¿Qué significa esto desde el punto de vista gráfico?

Formalmente, ¿cuál sería una prueba para esto?

Answer 1

Piensa en la física. La velocidad media de una partícula que recorre una distancia $\Delta s$ en el tiempo $\Delta t$ es $v= \Delta s/\Delta t$ . Dada una curva $\alpha: I \to \Bbb R^n$ llamamos al vector tangente $\alpha'(t)$ el vector velocidad, y $|\alpha'(t)|$ es la velocidad de la curva. Por lo tanto, si $\color{red}{\Delta s} = \color{blue}{v} \color{green}{\Delta t}$ tenemos $\color{red}{\ell(\alpha)} = \int_I \color{blue}{|\alpha'(t)|}\,\color{green}{{\rm d}t}$ .

(Ten en cuenta que no soy físico y que esta explicación sólo pretende ser intuitiva y hacer una analogía, así que tómala con un grano de sal).