¿Pruebas falsas? Si $f: G \rightarrow H$ homomorfismo, y $H$ abeliana, entonces $G$ ¿Abelio?

Question

Dejemos que $f: G \rightarrow H$ sea un homomorfismo, y $H$ es abeliana.

Así que $G \big/ \ker f \cong \operatorname{im}f$ . Desde $\operatorname{im}f$ es abeliano, también lo es $G \big/ \ker f$ . Así que por cada $g_1,g_2 \in G$ : $g_1\ker f\cdot g_2\ker f=g_2\ker f \cdot g_1\ker f \Rightarrow g_1g_2\ker f=g_2g_1\ker f$ Por lo tanto $g_1g_2=g_2g_1$ Así que $G$ es abeliana.

Answer 1

La igualdad $g_1 g_2 \ker f = g_2 g_1 \ker f$ no implica que $g_1 g_2 = g_2 g_1$ de hecho, todo lo que implica es que

$$g_1 g_2 (g_2 g_1)^{-1} \in \ker f$$

Answer 2

Tomemos cualquier grupo no abeliano $G$ y $H$ el grupo trivial. Sin embargo, implica que $G$ admite un cociente abeliano. Si $H$ no es trivial, esto es relevante. De hecho, se puede definir la solvencia en términos de la siguiente forma "circular":

Un grupo $G$ es soluble si existe un subgrupo propio $H$ tal que

$(\rm i)$ $G/H$ es abeliano, o

$(\rm ii)$ $G/H$ es solucionable.