Prueba por deducción - implicaciones

Question

Actualmente intento explicar algunas matemáticas a un amigo.

Ha tomado una declaración $x^2 + 4 > 2x$ y trató de demostrar que esto es cierto para todos $x$ .

Su prueba es $x^2+4>2x \Rightarrow x^2-2x + 4 > 0 \Rightarrow (x-1)^2 + 3 > 0$ que es verdadera, por lo que la afirmación original es verdadera.

Sin embargo, esto comienza en el lugar equivocado y la implicación va en la dirección equivocada. Así que creo que es un error y no puedo convencerlo de esto o encontrar algunos ejemplos básicos para ilustrar el punto que la declaración X $\rightarrow$ La afirmación verdadera no significa que X sea verdadera....

Así que, ¿alguien puede explicarme por qué es incorrecto usando algunos contraejemplos básicos quizás para que pueda tener el conocimiento para explicar por qué es incorrecto...

Gracias

Answer 1

Tu amigo tiene razón, la sutileza es que todos sus pasos son reversibles, así que una forma clara de decirlo es como: $$ x²+4>2 \iff x²-2x+4>0 \iff (x-1)²+3>0 $$ De este modo, la veracidad de la última afirmación implica lo mismo para la primera. Pero tienes razón en ser cauteloso, un caso en el que las cosas irían mal es con los cuadrados. Por ejemplo: $$ x=1 \Rightarrow x² = 1 \Rightarrow x=1~\text{or}~x =-1 $$ La última frase es cierta si $x=-1$ pero la primera sería falsa.

Answer 2

Sí, el hecho es que la siguiente cadena

$$x^2+4>2x \Rightarrow x^2-2x + 4 > 0 \Rightarrow (x-1)^2 + 3 > 0$$

es verdadera y puede ser útil para adivinar un camino para la prueba que requiere lo siguiente

$$(x-1)^2 + 3 > 0 \Rightarrow x^2-2x + 4 > 0 \Rightarrow x^2+4>2x $$

o de forma más directa podemos utilizar

$$x^2+4>2x \iff x^2-2x + 4 > 0 \iff (x-1)^2 + 3 > 0$$