Integral de los componentes del vector normal unitario

Question

Si consideramos una hipersuperficie cerrada orientada $\Sigma^{n-1}$ en $\Bbb{R}^n$ entonces $$\int_\Sigma\alpha_i\,d\Sigma=0,\ \forall i\in\{1,\ldots,n\},$$ donde $N=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ es el vector normal unitario de $\Sigma$ .

Me pregunto si lo siguiente es cierto o no: $$\int_\Sigma\alpha_i\alpha_j\,d\Sigma=0,\ i\neq j,\ 1\leq i,j\leq n.$$

En las esferas es sencillo comprobarlo. Pero, ¿es cierto en el caso general?

¡Cualquier ayuda o sugerencia es bienvenida! Gracias.

Answer 1

No, definitivamente no es cierto en general. Las esferas tienen demasiada simetría, así que deberías probar más superficies.

Prueba con la superficie lisa a trozos que es el límite del primer octante de la bola unitaria, es decir, $\Sigma = \partial\Omega$ , donde $\Omega = \{x\in\Bbb R^3: \|x\|\le 1,\ x_i\ge 0 \text{ for } i=1,2,3\}$ . Obtendrá una integral positiva en cada caso. Si es necesario, creo que puedes alisar la superficie de forma controlada y seguir teniendo una respuesta positiva.