Encontrar la convergencia uniforme de una serie de Fourier

Question

Comprobar que las series de fourier convergen uniformemente en el intervalo ${\pi\leq x\leq \pi}$ . Indique también por qué esta serie es diferenciable en el intervalo ${\pi\leq x\leq \pi}$ , excepto en el punto $x=0$ y describir gráficamente la función que representa la serie diferenciada para todo $x$

$\frac{1}{\pi}+0.5\sin x-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\cos 2nx}{4n^{2}-1 }$

Lo que he probado

Utilizando la prueba M de Weierstrass obtuve $$|\frac{1}{\pi}+0.5\sin x-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\cos 2nx}{4n^{2}-1 }|\leq |\frac{1}{\pi}+0.5\sin x+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\cos 2nx}{4n^{2}-1 }|$$

$$|\frac{1}{\pi}+0.5\sin x+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\cos 2nx}{4n^{2}-1 }| \leq |\frac{1}{\pi}+0.5\ x+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\cos 2nx}{4n^{2}-1 }|$$

$$|\frac{1}{\pi}+0.5\ x+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\cos 2nx}{4n^{2}-1 }| \leq|\frac{1}{\pi}+0.5\ x+\frac{2x}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\ 2n}{4n^{2}-1 }|$$

Y como el término

$$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\ 2n}{4n^{2}-1 }$$ converge entonces por la prueba M de Weierstrass la anterior serie de fourierM converge uniformemente. Diferenciando la serie de fourier término a término se obtiene
$$0.5\cos x+\frac{4n}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin 2nx}{4n^{2}-1 }$$

Supongo que es diferenciable en el intervalo dado porque es continuo en ese intervalo excepto en $x=0$ pero no veo por qué es así y también cómo describir gráficamente la función que está representada por la serie diferenciada para todos $x$ . Podría alguien explicarme esto, por favor. Gracias

Answer 1

El trabajo en el OP tiene algunos defectos. Obsérvese que podemos utilizar la desigualdad del triángulo para demostrar que

$$\begin{align} \left| \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{4n^2-1}\right|&\le \sum_{n=1}^\infty \frac{|\cos(2nx)|}{4n^2-1}\\\\ &\le \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-1}\\\\ &<\infty \end{align}$$

La prueba M de Weierstrass garantiza que la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{4n^2-1}$ converge uniformemente para todo $x\in [-\pi,\pi]$ .

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Para analizar si la derivada de la serie es diferenciable, examinamos la serie de derivadas término a término $D(x)$ como se indica en

$$D(x)=-2\sum_{n=1}^\infty \frac{n\sin(2nx)}{4n^2-1} \tag 1$$

Tenga en cuenta que $\sum_{n=1}^N \sin(2nx)=\csc(x)\sin(Nx)\sin((N+1)x)$ está limitada por $|\csc(x)|$ para $x\ne 0$ . Además, $\frac{n}{4n^2-1}$ disminuye monótonamente hasta $0$ como $n\to \infty$ .

Por lo tanto, para cualquier $\delta >0$ y $x\in [-\pi,-\delta]$ o $x\in [\delta,\pi]$ , Prueba de Dirichlet garantiza que las series en $(1)$ para $D(x)$ converge uniformemente y en la medida en que la serie original $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{4n^2-1}$ también converge en $[-\pi,\pi]$ (en realidad, sólo necesitamos que converja en un único punto), encontramos que

$$D(x)=\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{4n^2-1}$$

para todos $x\ne 0$ .