Convertir la función en coordenadas esféricas

Question

$$z=\sqrt{4-x^2-2y^2} $$

Lo primero que hice fue poner la ecuación en forma estándar: $z^2+x^2+2y^2=4 $

Luego lo convierto en esférico: $$\rho^2\cos^2(\phi)+\rho^2\sin^2(\phi)\cos^2(\theta)+2\rho^2\sin^2(\phi)\sin^2(\theta)=4$$ entonces simplifico: $$\rho^2[\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)\cos^2(\theta)+2\sin^2(\phi)\sin^2(\theta)]=4$$

¿Cómo puedo simplificar a partir de aquí? Como mi respuesta tiene que ser una entre las siguientes:

Answer 1

Hay un error en su última línea, debería ser $$\rho^2[\cos^2\phi+\sin^2\phi\left[\cos^2\theta+2\sin^2\theta]\right]=4$$ para que $$\rho^2[\cos^2\phi+\sin^2\phi\left(1+\sin^2\theta)\right]=4$$ $$\rho^2(\cos^2\phi+\sin^2\phi+\sin^2\phi\sin^2\theta)=4$$ $$\rho^2\left((\cos^2\phi+\sin^2\phi)+\sin^2\phi\sin^2\theta\right)=4$$ o $$\rho^2(1+\sin^2\theta\sin^2\phi)=4$$