¿Conviene una secuencia a 0 si y sólo su secuencia recíproca diverge a infinito?

Question

Ayer me planteé si la pregunta del título es, de hecho, cierta. Creo que la definición de una secuencia convergente es
$(\forall \epsilon>0)(\exists N\in\mathbb{N})(\forall\mathbb{N}\ni{n,m}>N):\left|a_m-a_n\right|<\epsilon$

y así es una secuencia divergente:

$(\exists \epsilon>0)(\forall N\in\mathbb{N})(\exists\mathbb{N}\ni{n,m}>N):\left|a_m-a_n\right|\ge\epsilon$

Así que estoy tratando de ver si la declaración:

$\langle a_n\rangle\rightarrow0\iff\langle\frac{1}{a_n}\rangle\rightarrow\infty$

es verdadera, o, al menos, que la afirmación

$\langle a_n\rangle\rightarrow0\implies\langle\frac{1}{a_n}\rangle\rightarrow\infty$

es cierto.

No estoy seguro de cómo lo haría. Suponiendo que el enunciado implica al otro, tengo que encontrar un épsilon y un par de índices tales que $|a_{m'}-a_{n'}|\ge\epsilon$ ¿correcto?

Mi método de ataque aquí sería suponer que la secuencia de sus recíprocos sí converge y derivar una contradicción. Por ejemplo, fijando un $\epsilon'>0$ Supongo que he encontrado un índice que lo satisface para $n',m'>N$

$|\frac{1}{a_{m'}}-\frac{1}{a_{n'}}|<\epsilon'$ lo que significa que $|a_{m'}-a_{n'}|<|a_{n'}a_{m'}|\epsilon'$ para todos $n',m'<N$ y, por supuesto, también existe algún $\epsilon$ para esta secuencia tal que $|a_{m'}-a_{n'}|<\epsilon_{0}$ para todos $n',m'<N$ . Entonces, o bien $\epsilon_{0}\ge{|a_{n'}a_{m'}|\epsilon'}$ o $\epsilon_{0}\le|a_{n'}a_{m'}|\epsilon'$ para todos $n',m'>N$ . Por supuesto, esto no parece una forma muy prometedora de ver que la otra secuencia diverge explícitamente al infinito.

¿Le parece que este es el enfoque correcto? Cualquier aportación es bienvenida. ¡Personalmente, nunca he sido muy bueno con esto, así que probablemente estoy atacando esto desde un ángulo que horrorizará y horrorizará a muchos de los tipos más astutos de ustedes por ahí!

Answer 1

Parece que hay cierta confusión entre algunos conceptos. En primer lugar, la definición de secuencia convergente que proporcionas es la definición de una secuencia de Cauchy (que es equivalente a la convergencia en el espacio métrico completo $\mathbb{R}$ ).

En cualquier caso, la "secuencia divergente" y $a_n \to \infty$ suelen significar dos cosas diferentes. Solemos escribir $a_n \to \infty$ para $(\forall M)(\exists N)(\forall n > N)(a_n > M)$ . Esto no es lo mismo que "no converger".

Otro punto es que si usas la definición de secuencia de Cauchy, estás usando el hecho de que la secuencia es convergente, no el hecho de que es convergente a $0$ .

En fin, como conclusión:

. El hecho de que $a_n$ es una secuencia convergente no implica que $1/a_n$ es una secuencia divergente (todo lo contrario; a menos que $a_n \to 0$ , el recíproco es convergente).

. Si $a_n \to 0$ entonces $\frac{1}{|a_n|} \to \infty$ (con la definición que he proporcionado anteriormente).

Answer 2

No en general.

Por ejemplo $$ a_n=\frac{(-1)^n}{n}\to 0, $$ mientras que $$ \frac{1}{a_n}\qquad\text{does not tend to infinity as} $$ $$ \frac{1}{a_{2n}}\to \infty, $$ y $$ \frac{1}{a_{2n-1}}\to -\infty, $$