¿Suma de dígitos?

Question

Déjalo, $\ n$ sea el menor número positivo tal que:

el número, $\ S=8^n5^{600}$ tiene 604 dígitos

¿Cuál es la suma de los dígitos?

Answer 1

Si $n=200$ entonces $S=8^{200}\cdot 5^{600} = 2^{600}\cdot 5^{600} = 10^{600}$ que tiene $601$ dígitos.

por lo que si $n=204$ tienes $S=8^4\cdot 10^{600} =4096\cdot 10^{600}$ . Tiene $604$ dígitos y la suma es $4+9+6=19$ .

Answer 2

Pista: ¿cuántos dígitos tiene $10^{600}$ ¿tiene? ¿Cómo ayuda esto?

Answer 3

La condición de que $8^n\cdot 5^{600}$ tiene $604$ los dígitos se pueden escribir $$ \log_{10}(8^n\cdot 5^{600})\ge 603 $$ o $$ 3n\log_{10}2+600(1-\log_{10}2)\ge 603, $$ es decir, $$ 3n\log_{10}2\ge3+600\log_{10}2 $$ o $$ n\ge\frac{1}{\log_{10}2}+200=\log_{2}10+200, $$ por lo que el mínimo $n$ es $204$ porque $3<\log_{2}10<4$ .

Así, $S=8^{4}\cdot10^{200}$ .