Encontrar una secuencia $\{a_n\}$ que converge a $a$ sin "acercarse más y más"

Question

Así que recientemente he llegado a comprender la mecánica que hay detrás de afirmaciones como "Demostrar que $a_n > b$ para todos los casos, excepto para un número finito de $n$ pero estoy luchando con esta pregunta.

Encontrar una secuencia $\{a_n\}$ y $a \in \mathbb R$ para que $a_n \to a$ pero de manera que la desigualdad $$|a_{n+1} - a| < |a_n-a|$$ es violado para un número infinito de $n$ .

La moraleja que se supone que debemos sacar de una pregunta como ésta es que la secuencia puede converger sin acercarse "cada vez más", pero eso no es lo que yo saco de esta afirmación.

Veo que esta pregunta se refiere a una secuencia como la de este pdf que tiene el siguiente aspecto

$8, 1, 4, 1/2, 2, 1/4, 1, 1/8, 1/2, 1/16, \ldots \tag{*}$

Esta secuencia "rebota" como me imagino la que se supone que se nos ocurre para la pregunta, pero no sé cuál es la fórmula explícita que genera la de $(*)$ .

Así que estoy un poco atascado. Cualquier pista de inicio sería de gran ayuda.

Answer 1

Considere la secuencia $$\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{8},\frac{1}{4}, \frac{1}{32}, \frac{1}{16}, \frac{1}{128}, \frac{1}{64},\dots.$$ Esto converge a $a=0$ .

Una descripción precisa de esta secuencia $a_0, a_1, a_2,\dots$ podría ser $a_{n}=\frac{1}{2^{n+1}}$ si $n$ es par y $a_n=\frac{1}{2^{n-1}}$ si $n$ es impar.

Si queremos un explícito fórmula, dejemos que $$a_n=\frac{1}{2^{n+(-1)^n}}.$$

Answer 2

Cuando se trata de construir un ejemplo, suele ser una buena idea mantener las cosas tan simples como sea posible, así que vamos a intentar uno con $a=0$ . Ahora quieres una secuencia $\langle a_n:n\in\Bbb N\rangle$ que converge a $0$ pero es tal que hay infinitas $n$ con $a_{n+1}$ más lejos de $0$ que $a_n$ es. Si, todavía en aras de mantener las cosas simples, tratamos de hacer que todos los términos $a_n$ positivo, esto significa que queremos tener infinitas $n$ tal que $a_{n+1}>a_n$ .

Empecemos por fijar $a_0=1$ . Queremos que la secuencia tenga límite $0$ Así que elegiremos $a_1$ para estar más cerca de $0$ ; $a_1=\frac12$ parece una opción razonable. Ahora vamos a dar un paso atrás, alejándonos de $0$ La mitad del camino de vuelta a nuestro punto de partida nos deja con un progreso neto hacia $0$ Así que vamos a intentar $a_2=\frac34$ . Ahora queremos avanzar hacia $0$ de nuevo. Nuestro progreso anterior fue $\frac12$ ; acerquémonos el doble tomando $a_3=\frac14$ . Hasta ahora hemos

$$\left\langle 1,\frac12,\frac34,\frac14\right\rangle\;.$$

Ahora demos un segundo paso atrás, digamos que a la mitad de nuestro anterior mejor avance de $\frac12$ que nos sitúa en $a_4=\frac38$ . A continuación, mejoramos nuestra anterior marca de $\frac14$ al establecer $a_5=\frac18$ , paso a mitad de camino hacia el anterior mejor de $\frac14$ al establecer $a_6=\frac3{16}$ y así sucesivamente. En este punto tenemos

$$\left\langle 1,\frac12,\frac34,\frac14,\frac38,\frac18,\frac3{16},\dots\right\rangle\;.$$

Te dejo que escribas una fórmula general para $a_n$ querrá dividirlo en dos casos, uno para la $n$ y uno para impar $n$ . Obsérvese que siempre que $n$ es impar, $a_{n+1}>a_n$ , por lo que hay infinitas $n$ en la que la secuencia realmente se mueve fuera de $0$ . Aun así, no es difícil ver que converge a $0$ .

Answer 3

Si no me equivoco su secuencia $(*)$ es simplemente $$ a_n = \begin{cases} 2^{3-k} & \text{ if } n = 2k+1 \\ 2^{-k} & \text{ if } n=2k \end{cases} $$

Answer 4

¿Qué tal si $a_n = a+e^{-n}$ si $n$ es par y $a_n = a + \frac{1}{n}$ ¿o no?