La función no es continua

Question

$f(x)=x^2 \sin(1/x)$ cuando $x \neq 0$ , $f(x)=0$ cuando $x=0$ .

Demuestre que f no es continuamente diferenciable.

Encontré que $f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ para $x \neq 0$ y $0$ si no, pero ¿cómo puedo demostrar que no es continuo?

Answer 1

Si $f'(x)$ era continua, su derivada en $0$ sería el valor en $0$ de $Sin(1/x)$ (más precisamente, el valor en $0$ coincidiría con el límite de f'(x) como $x \rightarrow 0$ ). Pero, al acercarse $0$ , $Sin(1/x)$ oscila entre $-1$ y $1$ . Utilice el hecho de que $Sin a$ tiene un periodo de $2\pi$ para que $1/x$ tendrá el período $1/2\pi$ , entonces se pueden encontrar secuencias que convergen a $0$ que tomará cualquier valor en $[-1,1]$ . Esto viola la condición necesaria para la continuidad que $Lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$ .