min $\int_0^1 (f''(x))^2 \, dx$

Question

Sea A el conjunto de funciones dos veces continuamente diferenciables sobre el intervalo $[0, 1]$ ,

y que $B = \{f\in A : f (0) = f (1) = 0, f ′ (0) = 2\}$ . ¿Qué es?

min $\int_0^1 (f''(x))^2$ .

Hay una pista dada considerar $(1-x)f''(x)$ .

¿Alguna idea de cómo empezar a resolver este problema?

Answer 1

tenemos $$\begin{align}\int_0^1(1-t)f''(t) \, dt &= {(1-t)f'(t)}\Big|_0^1+\int_0^1f'(t)dt\\ &=2 +f(1) - f(0) = 2 \end{align}$$ ahora por Cauchy-Schwarz, $$\begin{align}\Big|\int_0^1(1-t)f''(t) \, dt\Big|^2 &\le \int_0^1(1-t)^2 \, dt \int_0^1(f''(t))^2 \, dt \\ 4 &\le \frac 13 \int_0^1(f''(t))^2 \, dt\end{align}$$

por lo tanto $$\int_0^1\left(f''(t)\right)^2 \, dt \ge 12. $$

---

$\bf p.s.$ el mínimo se alcanza para $$f'' = 6(t-1), f' = 3(t-1)^2 - 1, f=(t-1)^3-(t-1) $$