¿Cuántas comisiones tienen al menos dos miembros del mismo partido?

Question

Q:

a) De un grupo de 9 políticos hay que elegir un comité de 3 personas. Supongamos que dos del grupo pertenecen al Partido I, tres del grupo pertenecen al Partido II y cuatro del grupo pertenecen al Partido III. ¿Cuántos de los comisiones tienen al menos dos miembros del mismo partido? Explica tu respuesta.

Intento:

En primer lugar hice 9C3 para obtener 84. Esto es sólo para empezar. Luego hice 2C1 para el partido 1, 3C2 para el partido 2 y 4C3 para el partido 3 y mis respuestas fueron 2,3,4. Siento que esto es incorrecto sin embargo.

Answer 1

La comisión tendrá al menos dos miembros del mismo partido, a menos que cada miembro de la comisión proceda de un partido diferente. Por lo tanto, podemos hallar la respuesta restando el número de comités en los que cada persona procede de un partido diferente del número total de comités de tres personas que pueden extraerse de los nueve políticos.

Como has comprobado, hay $$\binom{9}{3}$$ formas de formar un comité de tres personas, elegidas entre los nueve políticos.

El número de formas de obtener un comité en el que cada persona procede de un partido diferente es $$\binom{2}{1}\binom{3}{1}\binom{4}{1}$$ ya que hay que elegir uno de los dos miembros del Partido I, uno de los tres miembros del Partido II y uno de los cuatro miembros del Partido III.

Por lo tanto, el número de comités de tres personas que tienen al menos dos miembros del mismo partido es $$\binom{9}{3} - \binom{2}{1}\binom{3}{1}\binom{4}{1}$$