Estoy empezando a trabajar a través de Rudin Principios del análisis matemático . Para $(X, d)$ un espacio métrico y $x \in X$ Rudin define el vecindario $N_r(x)$ de $x$ para ser el conjunto formado por todos los puntos $y$ tal que $d(x,y) < r$ . Mi pregunta es la siguiente: si $A \subset X$ y $a \in A$ entonces hace $N_r(a)$ se refieren al mismo conjunto en ambos $A$ y $X$ ¿el espacio ambiental? Por ejemplo, si $X = \mathbb{R}$ y $A = \mathbb{Q}$ entonces es el caso que $N_{1/2}(a)$ es siempre el conjunto $N = \{p \in \mathbb{R} : a - 1/2 < p < a + 1/2\}$ o puede $N_{1/2}(a)$ interpretarse como el conjunto $N' = \{q \in \mathbb{Q} : a - 1/2 < q < a + 1/2\}$ ? Esencialmente estoy preguntando si la noción de vecindad es relativa. Esto afectaría a cosas como la interioridad de los puntos de un conjunto. Por ejemplo, $N$ siempre está contenida en $\mathbb{R}$ para que $a$ es siempre un punto interior de $\mathbb{R}$ pero $N \not \subset \mathbb{Q}$ para que $a$ nunca es un punto interior de $\mathbb{Q}$ . Por otro lado, $N'$ siempre está contenida en ambos $\mathbb{R}$ y $\mathbb{Q}$ para que $a$ es siempre un punto interior de ambos. (Supongo que $N$ es básicamente una vecindad formada con respecto a todo el espacio mientras que $N'$ es una vecindad formada con respecto a un subespacio específico de la métrica). Gracias de antemano.
Respuestas
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Ciertamente es una noción relativa. Usted define el barrio $N_r(x)$ de $x$ en el espacio métrico $X$ . Así, en particular, una vecindad en el espacio euclidiano $\mathbb R$ es muy diferente de una vecindad en el subespacio $\mathbb Q$ . La primera contiene un número incontable de elementos, mientras que la segunda sólo un número contable, y todos son números racionales.
Cabe señalar que los textos modernos hacen referencia a $N_r(x)$ como una bola abierta (y normalmente denotada por $B_r(x)$ ), mientras que una vecindad de $x$ es un término reservado más comúnmente a una de dos cosas: o un conjunto abierto que contiene $x$ o un conjunto arbitrario que contenga un conjunto de la forma $B_r(x)$ .
No sé específicamente en el libro de Rudin cómo se utilizan estas notaciones, pero en general uno querría mantener la noción lo más flexible posible, y habría muchas ocasiones en las que uno querría ver $A$ como un espacio métrico por derecho propio, junto con todas las nociones asociadas, como la de un $r$ -vecindad. Por lo tanto, la noción de vecindad relativa existe sin duda, y es exactamente como la expones en tu pregunta.
Yo diría que si la notación $N_r(a)$ se introdujo en alguna parte de una prueba cuando $X$ se había mencionado, pero $A$ no lo había hecho, mantendría el $X$ -significado a lo largo de la prueba. En caso contrario, si ambos $A$ y $X$ se consideran espacios métricos por derecho propio, y el autor introduce la notación $N_r(a)$ Creo que es su responsabilidad aclarar qué posibilidad tienen en mente, especialmente si es con respecto a $A$ .
