Compara $E[|X| \cdot 1\{|X| < M\}]$ y $P(|X| < M)$ con $E|X|=1$

Question

$X$ es una variable aleatoria y $E|X|=1$ . ¿Conocemos alguna relación entre $P(|X|\leq M)$ y $E[|X| \cdot 1\{|X| \leq M \}]$ ? ¿Sólo tenemos una dirección, es decir, o bien $P(|X|\leq M) \geq E[|X| \cdot 1\{|X| \leq M \}]$ o $P(|X|\leq M) \leq E[|X| \cdot 1\{|X| \leq M \}$ ? ¿O, de hecho, pueden darse ambos casos? EDIT: Especialmente cuando $M \to \infty$ ¿Cuál sería la comparación asintótica?

Answer 1

(Desigualdad de la Asociación de Chebyshev) $f$ es no creciente y $g$ no es decreciente. $X$ es una variable aleatoria de valor real y $Y$ es una variable aleatoria no negativa. Entonces $$ E[Y] E[Yf(X)g(X)] \leq E[Yf(X)] E[Yg(X)] .$$ Toma $Y \equiv 1$ , $f(\cdot) = 1\{|X|\leq \cdot\}$ y $g(\cdot) = |\cdot|$ . El resultado sería similar al comentario de Did.