Hay una serie de afirmaciones de la escuela primaria que acabo de recordar que en realidad no conozco matemáticamente. Empecemos con algunos ejemplos concretos y quizás la rigurosidad me inspire para saber hacerlo en cualquier pregunta que recuerde en el futuro. Por ejemplo, se dice que "la suma de los ángulos de un polígono en 2D con $k$ lados es $(k-2)\pi$ . Busqué la frase "ángulo interior" y encontré este artículo no riguroso .
Espero que alguien desarrolle con rigor las ideas requeridas, o si es complicado, mencione sus nombres/recursos donde pueda entender esto. Como creo que puede ser relevante, tengo todos los conocimientos de un curso de primer año de posgrado en topología diferencial/algebraica, y también algunos conocimientos de geometría diferencial, pero sólo de pasada. (Para ser más preciso, entiendo algo de geometría riemanniana básica como la métrica de Riemman, las geodésicas, y algunos fundamentos sobre el tensor de curvatura, pero no más. Desde luego, no es un equivalente a un primer curso de geometría riemanniana).
Un compañero me dijo que hay muchas formas de rigurosificar los ángulos cuando resulta insuficiente definir el ángulo en $\mathbb{R}^k$ por $\cos^{-1}(\langle u, v\rangle /\|u\|\|v\|)$ . Esto es también lo que he considerado que significa ángulo en el contexto de las variedades, donde uno tiene longitudes y ángulos a través de una métrica de Riemann. Si alguien pudiera dar otras definiciones de ángulo (o de longitud, si es que existe alguna, aparte de la noción de arclitud para las curvas en una variedad, y la noción de distancia mínima, así como la noción algebraica obvia de longitud para los vectores del espacio tangente), se lo agradecería mucho.
