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Probabilidad de obtener una carta de aceptación

Este es el problema en el que estoy trabajando actualmente:

"Una estudiante de bachillerato espera ansiosamente recibir una carta en la que se le comunique si ha sido aceptada en una determinada universidad. Ella estima que las probabilidades condicionales de recibir la notificación en cada día de la próxima semana, dado que es aceptada y que es rechazada, son las siguientes

  • P(lunes|aceptado) = 0,15; P(lunes|rechazado) = 0,05
  • P(martes|aceptado) = 0,20; P(martes|rechazado) = 0,10
  • P(miércoles|aceptado) = 0,25; P(miércoles|rechazado) = 0,10
  • P(jueves|aceptado) = 0,15; P(jueves|rechazado) = 0,15
  • P(viernes|aceptado) = .10; P(viernes|rechazado) = .20 Estima que su probabilidad de ser aceptada es de 0,6. "

Actualmente hay dos subproblemas con los que estoy luchando. El primero es el siguiente:

"Si no hay carta hasta el miércoles, ¿cuál es la probabilidad condicional de que sea aceptada?"

Lo interpreté como "encontrar $P(Acc|\bar W)$ " (lo que significa "aceptado suponiendo que no llegue ninguna carta el miércoles"). Mi lógica es la siguiente: $$P(Acc|\bar W) = \frac{P(Acc \cap \bar W)}{P(\bar W)} = \frac{P(Acc \cap \bar W)}{1 - P(Acc \cap W) - P(Rej \cap W)} = \frac{P(\bar W | Acc ) P(Acc)}{1 - P(Acc \cap W) - P(Rej \cap W)} = \frac{P(\bar W | Acc ) \cdot 0.6}{1 - 0.25 \cdot 0.6 - 0.1 \cdot 0.4}$$ Mi problema es que no sé cómo encontrar $P(\bar W | Acc )$ en esta ecuación. Tuve la idea de equiparar $P(\bar W \cap Acc ) = P(Acc) - P(Acc \cap W)$ pero esto no da la respuesta correcta. Finalmente, me rendí y busqué la respuesta al problema, que decía $P(\bar W \cap Acc ) = (0.6)^2$ . Desde $P(Acc) = 0.6$ He decidido que eso significa que $P(\bar W | Acc) = 0.6$ lo que significa que si la carta no llegaba el miércoles, no teníamos forma de asignar la probabilidad, excepto para volver a la general $P(Acc) = 0.6$ . Con eso en mente, me puse a hacer la siguiente tarea:

"¿Cuál es la probabilidad condicional de que sea aceptada si no llega ninguna carta esa semana?"

Lo que interpreté como "encontrar $P(Acc|\bar F)$ "(porque si la carta no llegó el viernes, es seguro asumir que no llegó en todos los días anteriores y no llegó esta semana), y aplicó la misma lógica: $$P(Acc|\bar F) = ... = \frac{0.6^2}{1-0.1 \cdot 0.6 - 0.2 \cdot 0.4 } = \frac {6} {17} \neq \frac {9}{25} $$ que es la respuesta correcta. Debido a esto, debe ser cierto que mi suposición inicial sobre que $P(\bar W | Acc) = 0.6$ era falso. ¿Qué me falta para resolver este problema?

(A tener en cuenta: las respuestas correctas al primer y segundo problema son $\frac {12}{27}$ y $\frac {9}{25}$ respectivamente)

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Nikolai Prokoschenko Puntos 2507
  • La probabilidad inicial de que sea aceptada pero no el lunes, martes o miércoles es $0.6(1- 0.15-0.2-0.25) = 0.24$
  • La probabilidad inicial de que sea rechazada pero no el lunes, martes o miércoles es $0.4(1-0.05-0.1-0.1) = 0.3$

Por lo tanto, si no hay carta para el miércoles, su probabilidad condicional de aceptación es $\frac{0.24}{0.24+0.3}=\frac{12}{27}$

Asimismo,

  • La probabilidad inicial de que sea aceptada pero no el lunes, martes, miércoles, jueves o viernes es $0.6(1- 0.15-0.2-0.25-0.15-0.1) = 0.09$
  • La probabilidad inicial de que sea rechazada pero no el lunes, martes, miércoles, jueves o viernes es $0.4(1-0.05-0.1-0.1-0.15-0.2) = 0.16$

Por lo tanto, si no recibe una carta el viernes, su probabilidad condicional de aceptación es $\frac{0.09}{0.09+0.16}=\frac{9}{25}$

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