Qué $f(x)$ es continua y $f = 0$.e. implican $f=0$ en todas partes?

Question

Quiero demostrar que

"si $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es continua y satisface $f=0$ casi en todas partes (en el sentido de la medida de Lebesgue), a continuación, $f=0$ en todas partes."

Estoy seguro de que la afirmación es verdadera, pero quedó con la prueba. También, es la declaración true si el dominio $\mathbb{R}^n$ está restringido a $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ que contiene una vecindad del origen "$0$"?

Answer 1

Un conjunto de medida cero ha densa complemento. Así que si una función continua en cero en un conjunto de medida total, es idéntica a cero.

Answer 2

Desde $f$ es continua, si $f(\hat{x}) \neq 0$, entonces existe un $\delta>0$ tal que $|f(x)|> \frac{1}{2}|f(\hat{x})|$$x \in B_\infty(\hat{x},\delta)$. Desde $m(B_\infty(\hat{x},\delta)) = (2 \delta)^n>0$, podemos ver que si $f(\hat{x}) \neq 0$, existe un conjunto de medida positiva en la que $f$ es distinto de cero.

Por lo tanto, si $f$ es cero.e., debe ser cero en todas partes.

(Puedo elegir el '$\infty$' bola para que yo pudiera calcular la medida de fácil).

Answer 3

Este es otro de los más simples, pero más enfoque.

Aviso de que es suficiente para mostrar que el $|f|=0$ en todas partes, así que vamos a suponer que $f$ es no negativa.

Desde $f=0$.e. de ello se sigue que $$\int_{\Bbb R^n} f=0.$$ Dividir la totalidad del espacio de $\Bbb R^n$ en que no se solapan los cubos de lado de longitud 1, decir $\{I_k\}_{k\in\Bbb N}$, luego $$0=\int_{\Bbb R^n} f=\sum_{k\in\Bbb N} \int_{I_k} f$$ y, a continuación, $$\int_{I_k} f=0$$ para cada una de las $k\in\Bbb N$. Esa es la clave de esta prueba.

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Lema. Deje $f:\Bbb R^n\to\Bbb R$ ser una continua no negativa de la función. Deje $I=[a^1,b^1]\times\cdots\times [a^n,b^n]$ ser un intervalo. Si $$\int_I f=0,$$ entonces $$f(x)=0$$ para cada una de las $x\in I$.

Prueba. La prueba es por inducción sobre $n$.

Si $n=1$ es sólo esto.

Supongamos que el resultado vale para $1,\ldots,n-1$. Observe que el teorema de Fubini es aplicable, así que $$\newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\x}{\mathbf{x}} \int_I f(\x)\d\x=\int_{a^n}^{b^n}\left[\int_{a^{n-1}}^{b^{n-1}}\cdots \int_{a^{1}}^{b^{1}} f\left(x^1,\ldots,x^n\right)\d x^{1}\cdots \d x^{n-1}\right]\d x^{n}.\la etiqueta{1}\label{eqi}$$ Definir $K:\left[a^n,b^n\right]\to\Bbb R$ por $$K(t)=\left[\int_{a^{n-1}}^{b^{n-1}}\cdots \int_{a^{1}}^{b^{1}} f\left(x^1,\ldots,t\right)\d x^{1}\cdots \d x^{n-1}\right].$$ El lado izquierdo de \ref{eqi} es $0$, lo $K$$0$.e. en $\left[a^n,b^n\right]$. Desde $K$ es continua en a $\left[a^n,b^n\right]$, por nuestra hipótesis se deduce que $K$ $0$ idéntica en $\left[a^n,b^n\right]$.

Ahora, fix $t\in \left[a^n,b^n\right]$. Por Fubini de nuevo $$\int_{[a^1,b^1]\times\cdots\times [a^{n-1},b^{n-1}]} f\left(x^1,\ldots,x^{n-1},t\right)\d \left(x^1,\ldots,x^{n-1}\right)=K(t)=0,$$ por nuestra hipótesis de inducción, se sigue que $$f\left(x^1,\ldots,x^{n-1},t\right)=0$$ para cada una de las $\left(x^1,\ldots,x^{n-1}\right)\in [a^1,b^1]\times\cdots\times [a^{n-1},b^{n-1}]$. Desde $t\in \left[a^n,b^n\right]$ es arbitrario, se sigue que $$f\left(x^1,\ldots,x^{n}\right)=0$$ para cada una de las $\left(x^1,\ldots,x^{n}\right)\in I$, como queríamos.

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A continuación, utilizando el Lema, se sigue que $f$ $0$ en todas partes, en cada una de las $I_k$ y, por tanto, $f$ es idéntica $0$.