La prueba de que cada número $≥$8 se puede representar por una suma de Cincos y tres.

Question

Se puede comprobar si la prueba es correcta?

Teorema. $\forall x\geq8,$ x puede ser representado por $5a + 3b$ donde $a,b \in \mathbb{N}$.

Caso Base(s): $x=8 = 3\cdot1 + 5\cdot1 \quad \tilde\\ x=9 = 3\cdot3 + 5\cdot0 \quad \tilde\\ x=10 = 3\cdot0 + 5\cdot2 \quad \tilde$

Inductivo paso:

$n \in \mathbb{N}\\a_1 = 8, a_n = a_1 + (x-1)\cdot3\\ b_1 = 9, b_n = b_1 + (x-1)\cdot3 = a_1 +1 + (x-1) \cdot 3\\ c_1 = 10, c_n = c_1 + (x-1)\cdot3 = b_1 + 1 + (x-1) \cdot 3 = a_1 + 2 + (x-1) \cdot 3\\ \\ S = \{x\in\mathbb{N}: x \a_{x} \lor de x \in b_{x} \lor de x \in c_{x}\}$

Base permanece fiel, porque $8,9,10 \in S$

Supongamos que $x \in S$. Esto significa que $x \in a_{n} \lor de x \in b_{n} \lor de x \in c_{n}$.

Si $x \in a_n$ entonces $x+1 \en b_x$,

Si $x \in b_x$ entonces $x+1 \en c_x$,

Si $x \in c_x$ entonces $x+1 \en a_x$.

Yo no puedo probar eso, pero es obvio. ¿Qué piensa usted acerca de esto?

Answer 1

Prueba por inducción.
Para el caso base $n=8$ tenemos $8=5+3$.
Supongamos que la declaración tiene por $k$ donde $k\gt 8$. Nos muestran que se mantiene por $k+1$.

Hay dos casos.

1) $k$ $5$ como un sumando en su representación.

2) $k$ no ha $5$ como un sumando en su representación.

Para el caso 1, se elimina "que $5$" en la suma de la representación de la $k$ y reemplazarlo por dos "$3$"s ! Esto demuestra la declaración por $k+1$.

Para el caso 2, ya que $k\gt 8$, entonces $k$ tiene al menos tres "$3$"s en su suma de la representación. Eliminamos estas tres $3$'s y reemplazarlos por dos cincos! Obtenemos una suma de representación por $k+1$. Esto completa la prueba.

Answer 2

Quisiera evitar inducción y utilizar el algoritmo de la división euclídea elemental (Eda).

Que $n\geq8$ sea un entero. Luego, por la Eda, existen enteros $q$ y $r$ tales que $r\in\ {0,1, 2\} $y$ la $n = 3q + r.$$

• Si $r = 0$, nos estamos haciendo desde $n =$3q.

• Si $r = 1$, entonces $q\geq3$ (porque n\geq8). Por lo tanto $n = 3(q-3) + 10$.

• Si $r = 2$, entonces $q\geq2$ (porque n\geq8). Por lo tanto $n = 3(q-1) + 5$.

Answer 3

Usted está casi listo, en realidad se puede demostrar que, incluso sin la inducción:

Si $\forall x \ge 8$ y usted debe demostrar que $x \in \mathbb{N} \de la tierra x = 5a + 3b$

Deje de $x_1$ 8 y considerar su base de casos:

$x_1 = 8 = 3 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1$

$x_2 = 9 = 3⋅3 + 5 ⋅ 0$

$x_3 = 10 = 3⋅0 +5⋅2$

Esto es cierto para los 3 primeros $n$ (1, 2 y 3) de $x_n$.

Ahora, considere lo siguiente:

$x_4 = 11 = x_1 + 3$

$x_5 = 12 = x_2 + 3$

$x_6 = 13 = x_3 + 3$

$x_7 = 14 = x_4 + 3$

$x_8 = 15 = x_5 + 3$

$...$

$x_n = x_{n-3} + 3 \,\,\,\,\,\,\forall n \gt 3$

Como se puede ver en el patrón, es obvio que se están sumando sólo los múltiplos de 3 basándonos en sus resultados anteriores (que también eran sumas de múltiplos de tres en tres y múltiplos de cinco en cinco).

Y puede que también tenga en cuenta que tan pronto como usted suma 5 tríos ($3+3+3+3+3 = 15 = 3⋅5$) de forma segura puede reemplazarlos con 3 cincos ($5 + 5 + 5 = 15 = 3⋅5$)

La ecuación anterior conduce a una relación de recurrencia, y se puede decir con certeza que su enunciado es verdadero $\forall x \ge 8$

Answer 4

Escribir $x=8n+k$ para $0\leq k<8$ y $n\geq 1$. Porque $8n=(3+5)n$, el problema es claro si $k=0,3,5$. Vamos a considerar los restantes 5 casos: $$\begin{align*} k=1 & \implica 8n+1=5(n-1)+3(n+2),\\ k=2 & \implica 8n+2=5(n+1)+3(n-1),\\ k=4 & \implica 8n+4=5(n-1)+3(n+3),\\ k=6 & \implica 8n+6=5n+3(n+2),\\ k=7 & \implica 8n+7=5(n+2)+3(n-1). \end{align*}$$ Tenga en cuenta que $k=4$ se basa en $k=1$ (sólo tiene que añadir uno más $3$) y, del mismo modo, $k=6$ y $k=7$ siga desde $k=1$ y $k=2$, respectivamente. Así que, de hecho, tenemos realmente sólo se consideran los 2 casos.

Answer 5

Es un mezcla del lema de Bezout y Frobenius monedas problema. Reclamaciones de problema de Frobenius de la moneda que si $a_1$ y $a_2$ son coprimos números entonces todo número mayor o igual a $($ a_1-1)(a_2-1) puede escribirse en la forma $a_1x + a_2y$ para algunos enteros no negativos $x, y$.

Escriba $a_1 = 3$ y $a_2 = 5$ en te caso y tienes la respuesta. De todas formas una prueba inductiva sería mucho más difícil.