Esta caracterización no es posible en $\mathbf{Cat}$ por una razón trivial --- el dual de un functor generalmente no puede ser pensado como un functor. En una situación análoga en $\mathbf{Set}$ Por la misma razón, no esperamos que todo colímite pueda expresarse de forma canónica como un límite.
Por ejemplo, escribamos $|2|$ para la categoría discreta que consta de dos objetos: $0$ y $1$ y que $\delta_0 \colon \mathbb{C} \rightarrow |2|$ , $\delta_1 \colon \mathbb{D} \rightarrow |2|$ sean los funtores constantes obvios (con imágenes disjuntas) de las categorías no triviales $\mathbb{C}, \mathbb{D}$ . Entonces no hay levantamientos de $\delta_0$ a través de $\delta_1$ , sin importar lo completo y cocompleto que sea $\mathbb{C}$ y $\mathbb{D}$ son. De hecho, para cualquier functor $F \colon \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{D}$ no hay transformaciones naturales $\delta_1 \circ F \rightarrow \delta_0$ ni $\delta_0 \rightarrow \delta_1 \circ F$ . Lo mismo ocurre, si sustituimos la categoría $|2|$ con su cocompleción libre $\mathbf{Set}^{|2|^{op}}$ .
Obsérvese también que la fórmula para los levantamientos de Kan de los profunctores, define los levantamientos interno a la bicategoría de los profunctores, y no interno a la categoría 2 de categorías.
Permítanme recordar que un levantamiento de Kan en $\mathbf{Cat}$ se define como una extensión de Kan en $\mathbf{Cat}^{op}$ . La razón profunda, por la que no tenemos fórmulas agradables para los levantamientos de Kan, es que $\mathbf{Cat}^{op}$ desde la perspectiva de nuestro covariante mundo, no es tan agradable como $\mathbf{Cat}$ . En concreto, no hay forma de definir el concepto de (co)fines en $\mathbf{Cat}^{op}$ porque los cálculos internos de $\mathbf{Cat}^{op}$ no es suficientemente expresable ( $\mathbf{Cat}^{op}$ no tiene la estructura canónica de Yoneda).
Dicho esto, es bueno saber que en la mayoría de las situaciones nos importa absoluto Kan, que pueden expresarse de la manera habitual de hom-set (estas fórmulas pueden generalizarse dentro de cualquier categoría de 2):
$$\hom(F(-), G(=)) \approx \hom(-, \mathit{Rift}_F(G)(=))$$
y:
$$\hom(F(-), G(=)) \approx \hom(\mathit{Lift}_G(F)(-), =)$$
