Dimensión del Aniquilador: $\text{dim} \, U^0 + \text{dim} \, U = \text{dim} \, V$

Question

En primer lugar existe un espacio vectorial $V$ y $U$ es un subespacio vectorial de $V$ .

Además, $U^{0}=\{\varphi \in V^{*} |\space\forall u \in U: \varphi(u) = 0\}$ es el aniquilador de $U$ .

Tengo que demostrarlo:

$$\text{dim} \, U^0 + \text{dim} \, U = \text{dim} \, V$$

¿Necesito el teorema del rango y la nulidad?

Answer 1

Notación y definiciones

En primer lugar, necesitamos conocer las siguientes notaciones

• $V$ y $W$ son espacios vectoriales sobre el campo $\Bbb{F}$ .
• $U$ es un subespacio del campo vectorial $V$ .
• $\mathcal{L}(V,W)$ denota el espacio vectorial de todos los mapas lineales $T:V \to W$ .
• $V'=\mathcal{L}(V,\Bbb{F})$ denota el espacio dual de V.
• $T':W' \to V'$ es el mapa dual de $T$ definido por $T'(w')=w' \circ T$ donde $\circ$ es la composición.
• $U^0=\{v' \in V': \forall u \in U, \, v'(u)=0\}$ denota el aniquilador de $U$ .

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Prueba

He aquí una prueba por el teorema fundamental de los mapas lineales (teorema de la nulidad). Definamos primero el siguiente mapa lineal

$$\begin{align} T : &U \to V \\ & u \to u \end{align}$$

entonces su mapa dual $T'$ será

$$\begin{align} T' : &V' \to U' \\ & v' \to v' \circ T \end{align}$$

a continuación, utilizando las definiciones de $T$ y el espacio dual, podemos escribir

$$\begin{align} T' : &\mathcal{L}(V,\Bbb{F}) \to \mathcal{L}(U,\Bbb{F}) \\ & v' \to v' \end{align}$$

para que puedas ver que lo único que $T'$ es cambiar el dominio de $v'$ de $V$ a $U$ . Este hecho puede ayudarle a demostrar que $T'$ es suryente. Más concretamente, para demostrar la subjetividad, debes mostrar que cualquier mapa lineal puede extenderse a un dominio mayor. A continuación, puedes demostrar el primer resultado por la definición de espacio nulo y el segundo por el hecho que mencioné

$$\begin{align} \text{null} \, T' &= U^0 \\ \text{range} \, T' &= U' \end{align}$$

entonces aplica el teorema fundamental de los mapas lineales a $T'$ para conseguir

$$\begin{align} \text{dim null} \, T' + \text{dim range} \, T'&= \text{dim} \, V' \\ \text{dim} \, U^0 + \text{dim} \, U'&= \text{dim} \, V' \\ \text{dim} \, U^0 + \text{dim} \, U &= \text{dim} \, V \end{align}$$

donde el último paso se consigue sabiendo que $\text{dim} \, V'=\text{dim} \, V$ y $\text{dim} \, U'=\text{dim} \, U$ .

Answer 2

Suponiendo que se trata de espacios de dimensión finita, se puede utilizar simplemente un argumento de base dual : Supongamos $\{v_1, v_2, \ldots, v_m\}$ es una base para $U$ que puede extenderse a una base $\{v_1, v_2, \ldots, v_m, v_{m+1}, \ldots, v_n\}$ para $V$ .

Dejemos que $\{\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n\}$ sea una base dual para $V^{\ast}$ entonces $$ \{\varphi_{m+1}, \varphi_{m+2}, \ldots, \varphi_n\} \subset U^{\circ} $$ Ahora comprueba que este conjunto forma una base para $U^{\circ}$

Answer 3

La idea detrás de esta prueba está motivada por la teoría de las categorías.

$\mathbf {Proof }:$ Supongamos ahora que $i:S\rightarrow V$ sea el mapa de inclusión natural, es decir $i(s)=s,\; \forall s \in S$ . Consideremos su mapa dual $i':V'\rightarrow S'$ definido de la siguiente manera $i'(\phi)=\phi\,\circ i$ . Así, $i'$ es un mapa lineal desde $V'$ a $S'$ . Entonces $dim\,range(i')+dim\,null(i')=dim\,V'=dim\,V$ . Ahora mi primer reclamo es,

$\it{Claim \;1}:$ $null(i')=S^0.$

$\it{Pf}:$ Si $\phi \in null(i')\Leftrightarrow i'(\phi)=0\Leftrightarrow \phi\,\circ i=0\Leftrightarrow(\phi\,\circ i)(s)=0,\,\forall s\in S\Leftrightarrow\phi(i(s))=0,\,\forall s\in S$ $\Leftrightarrow\phi(s)=0,\, \forall s\in S\Leftrightarrow \phi \in S^0\,\bullet$

Ahora tenemos $dim\,range(i')+dim\,S^0=dim\,V$ . Esto significa que $dim\,range(i')$ debe ser igual a $dim\,S=dim\,S'$ . Pero $range\,(i')\subseteq S'$ . Esto significa que $i'$ debe ser suryente, es decir $range(i')=S'$ . De hecho,

$\it{Claim\;2}:$ $range(i')=S'$ .

$\it{Pf}:$ Dejemos que $\phi \in S'$ . Así que $\phi:S\rightarrow \Bbb F$ . Ampliamos $\phi $ a un funcional $\psi :V\rightarrow \Bbb F$ tal que $\psi(s)=\phi(s),\,\forall s\in S$ . Así que $i'(\psi)=\psi\,\circ i$ . Pero $(\psi\, \circ i)(s)=\psi(i(s))=\psi(s)=\phi(s),\,\forall s \in S$ . Por lo tanto, $\psi\, \circ i = \phi \Leftrightarrow i'(\psi)=\phi$ . Así que $S'=range(i')\,\bullet$ .

Finalmente tenemos $dim\,S'+dim\,S^0=dim\,V\Rightarrow dim\,S+dim\,S^0=dim\,V.\,\lhd$