Suma del supremum y supremum de una suma

Question

Consideremos dos funciones de valor real de $\theta$ , $f(\cdot): \Theta \subset\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ y $g(\cdot):\Theta \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ .

¿Existe alguna relación entre

(1) $\sup_{\theta \in \Theta} (f(\theta)+g(\theta))$

y

(2) $\sup_{\theta \in \Theta} f(\theta)+\sup_{\theta \in \Theta} g(\theta)$

?

¿Podría aportar alguna prueba informal o intuición detrás de su respuesta?

Answer 1

Ver que $f(\theta) \le \sup_{\Theta}f(\theta)$ para todos $\theta \in \Theta$ y también $g(\theta) \le \sup_{\Theta}g(\theta)$ para todos $\theta \in \Theta$ y así tendrás $f(\theta)+g(\theta) \le \sup_{\Theta}f(\theta)+\sup_{\Theta}g(\theta)$ para todos $\theta \in \Theta$ y se deduce que $\sup_{\Theta} \left ( f(\theta)+g(\theta) \right ) \le \sup_{\Theta}f(\theta)+\sup_{\Theta}g(\theta)$

Answer 2

Hay una relación, y aquí está la intuición. Funciona mejor si asumimos que $\Theta$ es compacto, por lo que $f$ y $g$ realmente alcanzan sus supremacías en $\Theta$ pero se puede extender la intuición al caso no compacto. Así que suponiendo $\Theta$ es compacto, dejemos que $\theta_f^*$ y $\theta_g^*$ sean los valores en $\Theta$ en el que $f$ y $g$ alcanzan sus supremos, respectivamente: $$ f(\theta_f^*) = \sup_{\theta \in \Theta} f(\theta), \qquad g(\theta_g^*) = \sup_{\theta \in \Theta} g(\theta). $$

Si $f$ y $g$ alcanzan sus supremos en el mismo punto $\theta_f^* = \theta_g^* =: \theta^*$ , entonces para maximizar $f(\theta) + g(\theta)$ deberíamos elegir $\theta = \theta^*$ sabemos que esto es correcto porque elegir cualquier $\theta$ que no sea $\theta^*$ disminuirá ambos $f$ y $g$ y por lo tanto $f+g$ . Así que en este caso, $$ \sup_{\theta \in \Theta} [f(\theta) + g(\theta)] = f(\theta^*) + g(\theta^*) = \sup_{\theta \in \Theta} f(\theta) + \sup_{\theta \in \Theta} g(\theta). $$

Si $f$ y $g$ no alcanzan sus supremos en el mismo punto, es decir, $\theta_f^* \neq \theta_g^*$ Entonces, de nuevo, el mejor valor posible para $(f + g)(\theta)$ que podríamos esperar es $f(\theta_f^*) + g(\theta_g^*) = \sup_{\theta \in \Theta} f(\theta) + \sup_{\theta \in \Theta} g(\theta)$ . Pero sólo podemos evaluar $f+g$ en un determinado $\theta$ ; tal vez deberíamos elegir $\theta_f^*$ o tal vez $\theta_g^*$ o algún otro $\theta$ pero como $\theta_f^* \neq \theta_g^*$ no podemos maximizar simultáneamente $f$ y $g$ para maximizar $f+g$ . Por lo tanto, en este caso, $$ \sup_{\theta \in \Theta} [f(\theta) + g(\theta)] \leq f(\theta_f^*) + f(\theta_g^*) = \sup_{\theta \in \Theta} f(\theta) + \sup_{\theta \in \Theta} g(\theta). $$ Esta es la desigualdad que se mantiene de forma más generalizada. @Siddharth Joshi muestra cómo demostrarla (sin asumir la compacidad de $\Theta$ .)

Answer 3

Para $\alpha = \sup f \ge f(x)$ para todo x, y $\beta = \sup g \ge f(x)$ para todo x entonces $\alpha + \beta \ge f(x) + f(y)$ para todo x. Así que $\sup f + \sup g = \alpha + \beta \ge \sup (f + g)$ .

Eso es lo que otros llaman "intuitivo". A mí me gusta pensar en ello como un grado de limitación. Tenemos más grado de libertad para f y g operando independientemente que juntos como una suma fija (f + g). Así que la suma de los sups es mayor (o igual) que el sup de las sumas porque simplemente tenemos más opciones.

Pero esa es una definición bastante vaga y si no está clara cuando la diga por primera vez, sólo será confusa.

Para demostrar que la igualdad podría no cumplirse, simplemente imagine que f y g "se hacen grandes" en lugares diferentes. Imagina que $f(x) < 1$ para todos $x \ne 1$ pero $f(1) = 1$ (ejemplo $f(x) = 1 - (x-1)^2$ ) $\sup f = 1$ . Imagina $g(x) < 1$ para todos $x \ne 0$ pero $f(0) = 1$ (Ej. $g(x) = 1 - x^x$ ) $\sup g = 1$ . Pero $f + g$ es siempre significativamente menor que 2. (En nuestros ejemplos $f + g = 1 - 2(x^2 - x) \le 3/2$ )

Entonces $\sup f + \sup g > \sup (f + g)$ . En nuestro ejemplo $2 = \sup f + \sup g > \sup (f + g) = 3/2$

O mejor aún, deja que $g(x) = -f(x)$ donde $f$ está acotado por arriba y por abajo, pero incluye valores positivos y negativos. $f(x) + g(x) = 0$ así que $\sup(f + g) = 0$ pero $\sup f > 0$ y $\sup g = - \inf f > 0$ .

Answer 4

Para ver que la igualdad no tiene por qué cumplirse, consideremos $f(\theta) = 1 - g(\theta)$ con $g(\theta)$ monótona positiva creciente. Tenemos claramente que $$ \sup_\theta (f(\theta) + g(\theta)) = 1$$ mientras que $$ \sup_\theta(f(\theta)) + \sup_\theta(g(\theta)) = 1 + \infty = \infty$$

Obsérvese que siempre se cumple la siguiente desigualdad $$\sup_\theta(f(\theta)+g(\theta)) \leq \sup_\theta(f(\theta)) + \sup_\theta(g(\theta)) $$ Intuitivamente, la igualdad se mantiene si y sólo si $f$ y $g$ alcanzan su valor máximo en el mismo punto $\theta$ .