¿Cómo puedo demostrar que $x^2+8x-2$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $x^2+8x-2$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ ?

He aprendido la teoría básica que trata de la irreducibilidad de los polinomios que pertenecen a un campo de polinomios. Así, si el polinomio dado es irreducible, debería poder encontrar dos polinomios $h(x),g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ tal que $f(x)=h(x)g(x)$ y al menos uno de ellos es un polinomio constante (unitario).

He intentado descomponer la ecuación dada en factores. Obtengo polinomios con coeficientes irracionales. ¿Implica eso que los polinomios son irreducibles ya que los coeficientes deben ser racionales?

Answer 1

Una palabra : Eisenstein. Búscalo aquí por ejemplo. El criterio de Eisenstein es probablemente el criterio de irreductibilidad más conocido.

Al principio pensé que era $x^n - 8x + 2$ y no miré $n$ (El criterio de Eisenstein funciona para todos los $n$ ). Dado que $n=2$ , puedes utilizar la fórmula cuadrática para las raíces. Si una de las raíces está en $\mathbb Q$ entonces el discriminante es el cuadrado de un racional, por lo que la otra raíz también será racional y se tendrá una factorización sobre $\mathbb Q$ . Si no, no lo harás. (En este caso ambas raíces son irracionales).

Espero que eso ayude,

Answer 2

Sugerencia

Utilice el teorema de la raíz racional .

Answer 3

Otra opción además de todas las buenas respuestas que hay aquí: en el caso de un polinomio en $\mathbb{Z}[x]$ de grado $\leq 3$ si no hay raíces mod algún número entero, entonces es irreducible sobre $\mathbb{Z}$ y entonces, por el lema de Gauss, es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ .

Consigo que este polinomio no tenga raíces mod 3.

Answer 4

Una pista.

1. Se puede utilizar el criterio de Eisenstein, y el lema de Gauss. o
2. Una cuadrática es irreducible sobre un campo, significa que no tiene factores lineales, es decir, no tiene raíces en ese campo. ( Usa el Teorema de la Raíz Racional o resuelve para x)