Utilice $\epsilon\ -\ \delta$ definición para demostrar $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\sqrt[3]{f(x)} = \sqrt[3]{A}$

Question

Se sabe que $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) = A$ cómo probar $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\sqrt[3]{f(x)} = \sqrt[3]{A}$ ?

Esto es lo que tengo ahora:

Cuando $A = 0$ para demostrar $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\sqrt[3]{f(x)} = 0$ : Dado que tenemos $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) = A = 0$ Así que $|f(x)| < \epsilon$ . => $|\sqrt[3]{f(x)}| < \epsilon_0^3 < \epsilon$

Cuando $A \ne 0$ , $|\sqrt[3]{f(x)} - \sqrt[3]{A}| = \frac{|f(x) - A|}{|f(x)^{\frac{2}{3}}+(f(x)A)^{\frac{1}{3}} + A^{\frac{2}{3}}|}$ ...

¿Cómo puedo hacer frente a $(f(x)A)^{\frac{1}{3}}$ ? Gracias.

Answer 1

Quizá quieras echar un vistazo al límite de las funciones compuestas. Este es un resultado estándar en muchos libros de texto de cálculo. Buscando en Internet inmediatamente se encuentran varias pruebas, por ejemplo aquí o aquí .

Answer 2

Es necesario delimitar el término

$$ \frac{1}{|f(x)^{\frac{2}{3}}+(f(x)A)^{\frac{1}{3}} + A^{\frac{2}{3}}|}\,, $$

y explotar el hecho de que $|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-A|<\epsilon\,.$ Ver aquí para más detalles.