Supongamos que $C$ es una curva proyectiva tal que $H^1(C,\mathcal{O}_C)=0$ y que $\pi:\tilde{C}\longrightarrow C$ sea el morfismo de normalización. ¿Cómo puedo demostrar que $H^1(\tilde{C},\pi^\ast\mathcal{O}_C)=0$ ? ¿Puede alguien ayudar con esto?
¡Muchas gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deja que me invente los detalles. Como dijo Alex, $\pi$ es un morfismo finito, por lo tanto es un morfismo afín. Por lo tanto, tenemos $H^1(\tilde{C},\pi^*\mathcal{O}_C)=H^1(C,\pi_*(\pi^*\mathcal{O}_C\otimes\mathcal{O}_\tilde{C}))=H^1(C,\pi_*\mathcal{O}_\tilde{C})$ . Esto se puede demostrar utilizando la secuencia espectral de Leray $E_2^{pq}=H^p(C,R^q\pi_*(\pi^*\mathcal{O}_C))\Longrightarrow H^{p+q}(\tilde{C},\pi^*\mathcal{O}_C)$ ya que $\pi$ es finito, todas las imágenes directas superiores desaparecen, por lo que la segunda página degenera. Tenemos $H^1(\tilde{C},\pi^*\mathcal{O}_C)=H^1(C,\pi_*(\pi^*\mathcal{O}_C\otimes\mathcal{O}_\tilde{C}))$ .
A continuación, utilizamos la secuencia exacta corta para la normalización: $0\rightarrow \mathcal{O}_C\rightarrow \pi_*\mathcal{O}_\tilde{C}\rightarrow \oplus_{p\in C}\mathcal{\tilde{O}}_p/\mathcal{O}_p\rightarrow 0$ . Ya sabes, después de tomar la larga secuencia exacta, tienes $H^1(C,\mathcal{O}_C)\rightarrow H^1(C,\pi_*\mathcal{O}_\tilde{C})\rightarrow 0$ . Entonces conseguirás lo que quieres, es decir $H^1(\tilde{C},\pi^*\mathcal{O}_C)=H^1(C,\pi_*\mathcal{O}_\tilde{C})=0$ .
