Desde $e^x$ es "trascendental" de la manera definimos que vamos a ejecutar en problemas con cambiar el orden de los límites. Así que tendremos que utilizar algunas funciones polinómicas para hacer el trabajo sucio por nosotros. La única polinomios en la mano vienen de la definición de fórmula de interés
$$ e^x = \lim_{n\to\infty} \bigg( 1 + \frac{x}{n}\bigg)^n $$
así que vamos a ver qué podemos hacer con ellos.
En primer lugar, mostrar que $1+x < e^x$ todos los $x$. Este va a ser el "menos" de la función en una aplicación del teorema del sándwich.
Ahora lo que hay que hacer es tomar el segundo orden, el polinomio de Taylor y comprobar lo que sucede. (No estamos autorizados a hablar de "los polinomios de Taylor," técnicamente, pero para $n$ grande el binomio de expansión de la fórmula de interés es básicamente el mismo.)
Hay dos cualitativamente distinta de los casos. Si $x > 0$, entonces la tasa de interés de la fórmula del binomio de expansión (es decir, la serie de Taylor) tiene términos positivos, por lo que el segundo-orden de polinomio $1 + x + x^2/2$ es menos de la exponencial. No es bueno. Volveremos a esto en un segundo.
Si $x<0$, el segundo fin de aproximación majorizes la función exponencial. Sabemos que esto tiene que ser cierto, debido a la alternancia de la serie de errores teorema de Taylor de la serie, pero ya que no está permitido el uso de eso, vamos a restringir a $-1<x<0$ y el aviso de que $|x^n|<|x^k|$ si $n>k$, por lo que definitivamente $|x^n|/n! < |x^k|<k!$. Esa es la idea en la alternancia de la serie de errores teorema, aplicado a este caso particular.
De vuelta a $x>0$. Vamos a "hacer trampa" de nuevo por la observación de que hay todo un lápiz de parábolas que pasan a través de $(0,1)$ $1+x$ como su recta tangente en $0$. Si se elige uno con un gran coeficiente cuadrático, debemos ser configurado para utilizar el teorema del sándwich. Debido a $1$ es un buen coeficiente, vamos a ver si $1+x+x^2$ obras. Necesitamos $1+x+x^2 > e^x,$ y de nuevo voy a indicar el argumento de la serie de Taylor, confiando en que se puede convertir a la aproximación binomial.
$$ 1+x+x^2 > 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+\cdots$$
es el mismo
$$ \frac{1}{2}x^2 > \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$
es decir,
$$ \frac{1}{2} > \frac{x}{3!} + \frac{x^2}{4!} + \cdots.$$
Estamos limitando a cero, de modo que podemos dejar a $x$ ser pequeño y positivo: $|x|<1$, dicen. En este caso,
$$ \frac{1}{2} > \frac{x}{3!} + \frac{x^2}{4!} + \cdots > x\bigg(\frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots\bigg).$$
Que el pasado converge a $e-2$, de hecho (esto será más fácil si usted está utilizando la aproximación binomial creo), así que podemos ver que para$0 < x < \frac{1}{2(e-2)}$,$e^x < 1 + x + x^2$.
Bonus: $1+x+x^2 > 1 + x + x^2/2$ todos los $x$, así que ... para $|x|<\frac{1}{2(e-2)}$,
$$ 1 + x \leq e^x \leq 1 + x + x^2 $$
así
$$ \frac{(1+x)-1}{x} \leq \frac{e^x-1}{x} \leq \frac{(1+x+x^2)-1}{x} $$
y por el teorema del encaje que usted tiene el resultado deseado.
Observaciones.
Cuando se utiliza el binomio de expansión, usted necesita demostrar que estas desigualdades para mantener la tasa de interés de la fórmula con cualquier (suficientemente grande) $n$. No debería ser demasiado mala, debido a que los coeficientes del binomio de la serie están limitando a los coeficientes de la serie de Taylor.
Para hacer rigurosos en el uso de la serie de Taylor, tenemos que apelar a la convergencia uniforme de la potencia de la serie en intervalos cerrados. El hecho general es esta: Supongamos $f_n$ es una secuencia de funciones y $x$ es, en su dominio. Si $f_n$ converge uniformemente, puede cambiar los límites:
$$\lim_{t\to x}\lim_{n\to\infty} f_n(t) = \lim_{n\to\infty}\lim_{t\to x}f_n(t).$$
Esto y mucho más está en el capítulo 7 de Rudin. Los resultados sobre el poder de la serie, y la función exponencial, en particular, en el capítulo 8.
