¿Cómo puedo demostrar que la forma cuadrática simétrica completa no tiene ceros?

Question

La cuadrática polinomio homogéneo simétrico completo en $n$ variables $t_1,\ldots,t_n$ se define como $$h_2(t_1,\ldots,t_n) := \sum_{1 \leq j \leq k \leq n} t_j t_k = \sum_{j=1}^n t_j^2 + \sum_{j<k} t_j t_k.$$

Por ejemplo, en una variable tenemos $h_2(t_1) = t_1^2$ en dos variables $$h_2(t_1,t_2) = t_1^2 + t_2^2 + t_1 t_2,$$ y en tres $$h_2(t_1,t_2,t_3) = t_1^2 + t_2^2 + t_3^2 + t_1 t_2 + t_2 t_3 + t_3 t_1.$$

Por un teorema de Jacobi, cualquier forma cuadrática es conjugada (por una transformación ortogonal) a una diagonal. Resulta que $h_2(t_1,\ldots,t_n)$ es conjugado a uno con un valor propio $\frac{n+1}2$ y los demás $\frac 1 2$ Así que no hay ceros no triviales .

He llegado a esta pregunta tratando de ver si hay alguna entero soluciones. ¿Existe una forma más limpia de (quizás modular) manera de ver que no hay soluciones enteras para $h_2 = 0$ ?

Answer 1

Bueno, está la solución trivial $\tilde{t}=(t_1,t_2,\cdots ,t_n)=(0,0,\cdots ,0)$ . Ahora escribe $$\displaystyle h_2(\tilde{t})=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}t_i^2\right)+\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}t_i\right)^2\ge 0$$ donde la igualdad sólo se da cuando todo es cero. Supongo que he entendido bien la pregunta.

Answer 2

Anisotropía en $\mathbb Q_2.$ En particular, si $$ x^2 + y^2 + z^2 + y z + z x + x y \equiv 0 \pmod 4, $$ entonces $x,y,z$ son todos iguales. Eso es todo: si hay algún triple entero que da la $0,$ podemos dividirlo por el gcd de $x,y,z$ para obtener una representación primitiva de $0.$ Este pequeño dato sobre $4$ dice que no hay ningún triple primitivo que de verdad $0,$ por lo tanto, no hay ninguno.

El mismo argumento falla para 4 variables, su $n=4.$ La prima correspondiente es $5.$ Es fácil obtener la divisibilidad por $5,$ hay $10$ términos, hacer que cada $t_i=1.$ Sigue siendo fácil obtener la divisibilidad por $25,$ toma tu $ t_1=1, t_2= 2, t_3 = 3, t_4 = 19 $

Para un ejemplo en el que los números reales dan una respuesta diferente a los enteros, considere $$ w^2 - 2 x^2 + 3 y^2 - 6 z^2. $$ Si $w,x,y,z$ son números enteros y la forma $ w^2 - 2 x^2 + 3 y^2 - 6 z^2 $ es divisible por $9,$ entonces $w,x,y,z$ son todos divisibles por $3.$ Así que, $ w^2 - 2 x^2 + 3 y^2 - 6 z^2 =0 $ es imposible para las cuadrillas no triviales en $\mathbb Q_3 $ y en $\mathbb Z. $

Answer 3

Estas decisiones pueden ser registradas. Aunque me gusta esta ecuación:

$a^2+b^2+c^2+d^2=ab+ac+ad+bc+bd+cd$

Y soluciones:

$a=p^2-2tps+(3k^2+t^2)s^2$

$b=p^2+3(k+t)^2s^2$

$c=4p^2-4tps+4t^2s^2$

$d=3p^2+6kps+(3k^2+t^2)s^2$

Y más:

$a=7p^2+2(3k-t)ps+(3k^2+6kt+7t^2)s^2$

$b=7p^2+6(k-t)ps+3(k-t)^2s^2$

$c=p^2+2(3k+t)ps+(3k+t)^2s^2$

$d=3p^2-6(k+t)ps+(3k^2+6kt+7t^2)s^2$

número $t,k,p,s$ enteros y nos fijamos.