Una función no integrable de Riemann

Question

Hay un problema:

$f:\mathbb{R}\to\{1,-1\} $ definido por $$f(x)=\begin{cases}1 &\text{ if }x \in \mathbb{Q}\\-1 &\text{ if }x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\end{cases}$$ Está claro que no es integrable de Riemann pero la pregunta es "¿Es integrable de Lebesgue?"

Creo que sí. Defino una función $g (x)=-1 \text{ for all } x \in \mathbb{R}$ .

Entonces $f (x)=g (x)$ casi en todas partes en $\mathbb{R}$ (como medida de $\mathbb{Q}$ es $0$ ). $g$ es constante y, por tanto, integrable de Lebesgue. Así que $f$ también es integrable en Lebesgue. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

No. Obsérvese que una función se llama integrable de Lebesgue si la integral de Lebesgue de su parte positiva y la de su parte negativa son ambas finitas.

Tenga en cuenta que $\int_{\mathbb{R}}f^{+} = \int_{\mathbb{Q}}1 = 0$ y $\int_{\mathbb{R}}f^{-} = \int_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}1 =$ la medida de $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} = +\infty$ . Así que la integral de Lebesgue $\int_{\mathbb{R}}f$ no existe.