Esto es muy trivial, pero me molesta mucho. El ansatz para la ecuación de Dirac en términos de $\boldsymbol\alpha$ y $\beta$ matrices es $$ [i(\partial_t+\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla)-\beta m]\psi=0, $$ y para obtener la forma estándar en términos de matrices gamma, se define $\gamma^\mu=(\beta, \beta\boldsymbol \alpha)$ de manera que multiplicando la ecuación por $\beta$ da $$ [i(\beta\partial_t+\beta\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla)-\beta^2m]=[i\gamma^\mu\partial_\mu-m]=0 $$ siempre que el índice de $\gamma^\mu$ es en realidad un índice vectorial, del que podemos asegurarnos exigiendo $\psi$ para transformar en la representación del espinor. Pero considerando que la expansión correcta del producto de Minkowski es $$\gamma^\mu\partial_\mu=\gamma^0\partial_0-\boldsymbol\gamma\cdot\boldsymbol\nabla=\beta\partial_t-\beta\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla,$$ ¿la expresión del primer término no debería ser $\beta\partial_t-\beta\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla$ ¿con un signo menos en lugar de un signo más?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto es un clásico mal uso de la convención de suma de Einstein. La expresión correcta en tu ecuación final es $$ \gamma^{\mu} \partial_{\mu} = \sum_{\mu = 0}^3 \gamma^{\mu} \partial_{\mu} = \gamma^0 \partial_0 + \vec{\gamma} \cdot \vec{\nabla} $$ La razón de tu confusión es que estás acostumbrado a tomar el producto interior de Minkowski entre dos vectores contravariantes o dos covariantes. Si $v^{\mu} = (v^0, \vec{v})$ y $w^{\mu} = (w^0, \vec{w})$ Entonces, por supuesto $v^{\mu} w_{\mu} = g_{\mu \nu} v^{\mu} w^{\nu} = v^0 w^0 - \vec{v} \cdot \vec{w}$ . Pero en su expresión, $\partial_{\mu}$ es naturalmente covariante, no contravariante.
