Encuentre el resto cuando $f(x)$ se divide por $x^2+x-2$

Question

Cuando $f(x)$ se divide por $x-1$ y $x+2$ los restos son $4$ y $-2$ respectivamente. Hallar el resto cuando $f(x)$ se divide por $x^2+x-2$ .

Por favor, ayuda. La respuesta es $2x+2$ .

Intenté entender la relación entre la primera y la segunda frase, pero lo único que pude entender fue $f(1)=4$ ( $4$ siendo el resto) y $f(-2)=-2$ .

También me he roto $x^2+x-2$ en $(x-1)(x+2)$ pero después de eso, no sabía cómo continuar. Parecía que había un vínculo ya que ambos tienen $x-1$ y $x+2$ . Traté de intentarlo yo mismo durante mucho tiempo pero no pude distinguir nada. Aunque no estoy seguro de que lo que distinguí estuviera en la pista correcta.

Answer 1

División de un polinomio $A(x)$ por $B(x)$ significa encontrar otros dos polinomios $Q(x)$ (cociente), $R(x)$ (resto) con $\deg(R(x))<\deg(B(x))$ ( $\deg$ denota la mayor potencia de $x$ que está presente en el polinomio) tal que: $$A(x)=B(x)Q(x)+R(x)$$

Así que por definición: si se divide $f(x)$ por $x-1$ y obtener el resto $4$ , esto dice $f(x)=(x-1)Q(x)+4$ para algún polinomio $Q(x)$ . Esto da $f(1)=4$ . De la misma manera, $f(-2)=-2$ .

$$f(x)=(x^2+x-2)Q(x)+ax+b=(x+2)(x-1)Q(x)+ax+b$$

para algunos $a,b\in\Bbb R$ , polinomio $Q(x)$ (escribimos $ax+b$ porque como he dicho $\deg(R(x))<\deg(B(x))$ por lo que el resto tiene un grado menor que $2$ ). Usted sabe $f(1)=4,\,f(-2)=-2$ .

$f(1)=a+b=4$ y $f(-2)=-2a+b=-2$ . Es un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Deberías ser capaz de resolverlo.

Answer 2

Utilice el teorema chino del resto ( Enlace a Wikipedia ) en el anillo de polinomios.

Querrás mirar los polinomios $g=\frac{1}{3}(x+2)$ y $h=-\frac{1}{3}(x-1)$ que satisfacen $$\begin{align*} g&\equiv 1\bmod (x-1) & h&\equiv 0\bmod(x-1)\\ g&\equiv 0\bmod (x+2) & h&\equiv 1\bmod (x+2) \end{align*}$$ Así, para cualquier $a$ y $b$ , $$\begin{align*} ag+bh&\equiv a\bmod (x-1)\\ ag+bh&\equiv b\bmod (x+2) \end{align*}$$ En particular, el polinomio $$k=4g-2h=(\tfrac{4}{3}x+\tfrac{8}{3})+(\tfrac{2}{3}x-\tfrac{2}{3})=2x+2$$ tiene la propiedad de que $$\begin{align*} k&\equiv \hphantom{-}4\bmod (x-1)\\ k&\equiv -2\bmod (x+2) \end{align*}$$ El teorema del resto chino garantiza entonces que $f\equiv k\bmod (x^2+x-2)$ para cualquier $f$ tal que $f(1)=4$ y $f(-2)=-2$ .

Answer 3

SUGERENCIA:

Como $x^2+x-2=(x+2)(x-1),$

Dejemos que $f(x)=g(x)(x^2+x-2)+A(x+2)+B(x-1)$

$\implies f(x)\equiv A(x+2)\pmod{x-1}\implies A(-1+2)=6$