Convergencia en casi todas partes y convergencia en la medida

Question

Dejemos que $(\mathbb{R},\mathcal{L},m)$ , dejemos que $f_{n}(x)=n\chi_{[0,\frac{1}{n}]}$ entonces la secuencia converge a $0$ en todas partes excepto en $x=0$ así $f_{n}$ converge a.e.

Entonces en mi libro (Folland) tenemos que si $f_{n}\to f$ a.e y $|f_{n}|\le g\in L^{1}$ entonces $f_{n}\to f$ en $L^{1}$ también. Se cumplen las condiciones anteriores.

Finalmente por otra proposición tenemos que si $f_{n}\to f$ en $L^{1}$ entonces $f_{n}\to f$ en medida.

Me pregunto si estas relaciones son válidas tanto para espacios medibles finitos como infinitos.

Answer 1

Esto funciona siempre, por ejemplo $(\mathbb R, \mathcal B, \lambda)$ forma un $\sigma$ -finito pero con un espacio de medida infinito en el que esto funciona.

Answer 2

Realmente funciona en cualquier espacio de medida como consecuencia de la desigualdad $$\mu\{|f_n-f|\gt\varepsilon\}\leqslant \varepsilon\lVert f_n-f\rVert_{L^1}.$$

Desde el $f_n$ tener un $\sigma$ -soporte infinito, podemos suponer que trabajamos en un $\sigma$ -espacio infinito, aunque no sea necesario.