Dejemos que $\mathfrak{g}$ sea un álgebra de Lie soluble. El teorema de Lie establece que la representación adjunta es un homomorfismo $\operatorname{ad}:\mathfrak{g}\to \mathfrak{t}$ , donde $\mathfrak{t}$ es un álgebra de matrices triangulares superiores. Sea $\mathfrak{d}\subset\mathfrak{t}$ sea una subálgebra de matrices diagonales.
¿Es cierto que $\mathfrak{g}$ es nilpotente si $\operatorname{ad}^{-1}(\mathfrak{d})=Z(\mathfrak{g})$ ? En una dirección es exactamente el teorema de Engel, pero no puedo encontrar contraejemplos o pruebas para la otra dirección.
UPD Quiero reformular mi pregunta de manera equivalente. ¿Es cierto que todas las subálgebras solubles, pero no nilpotentes, del álgebra triangular superior contienen elementos diagonales distintos de cero?
