A petición de @PaulFrost.
Establecer $V_i = S \setminus \overline{E_i}$ para $i \in I$ , donde $I$ es un conjunto contable de índices. Recordemos que, dado un espacio topológico $(X, \tau)$ y $B \subseteq X$ uno tiene $$ \overline{B} = X \setminus (X \setminus B)^{\circ}.$$ Quiere demostrar que $\overline{V_i} = S.$ Tenemos que $$\overline{V_i} = \overline{S \setminus \overline{E_i}} = S \setminus \left( S \setminus (S \setminus \overline{E_i})\right)^\circ = \mbox{you fill the gap} = S \setminus \emptyset = S.$$
Para rellenar el hueco, utilice el hecho de que $E_i$ no es denso en ninguna parte $S$ y nota que $B = X \setminus (X \setminus B)$ para cualquier $B \subseteq X$ , donde $(X, \tau)$ es un espacio topológico.
Para la pregunta del título, la conclusión del teorema podría haberse escrito simplemente como $S$ es la segunda categoría en sí misma ( enlace ). Informalmente, las categorías de Bair indican que los conjuntos de primera categoría son "pequeños" o "insignificantes", y los de segunda categoría son "grandes". La terminología de los conjuntos de primera y segunda categoría es independiente de la teoría de las categorías.
