La respuesta de u/lurking_quietly:
Lo que hace que la función totiente de Euler sea importante es que para todo positivo $n\geq 2$ , $\varphi(n)$ cuenta el número de elementos de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ que admiten inversos multiplicativos (es decir, $\varphi(n)$ cuenta el número de unidades distintas en este anillo).
En lugar de hacer que sus alumnos calculen $\varphi(n)$ sin motivación, puede pedirles primero que calculen el tamaño del grupo de unidades, $|U(\mathbb Z/n\mathbb Z)|$ para varios valores de $n\geq2$ . Cuando posteriormente se defina la función totiente mediante $\varphi(1) := 1$ y
$$\varphi(n) := |\{ k : 1≤k≤n \text{ and } \gcd(k,n) = 1 \}|,$$
entonces tus alumnos podrían apreciar mejor que estás calculando algo con relevancia al introducir esta definición de la función totiente. (Nota: $n=1$ merece ser destacado como un caso especial. En efecto, la definición anterior recupera $\varphi(1)=1$ según se desee. Pero en general, la definición "correcta" de la función totiente sería $\varphi(n) = |U(\mathbb Z/n\mathbb Z)|$ . Para el caso $n=1$ esto podría ser potencialmente ambiguo si requerimos $0\neq 1$ en el anillo de cociente, algo muy común en la definición de campos, por ejemplo).
$$\rule{100pt}{1pt}$$
También se puede introducir la función totiente en el contexto de algo como la secuencia finita
$$\frac 1n, \frac 2n, ..., \frac{n-1}{n}, \frac nn.$$
Para un número entero positivo fijo $n\geq 2$ cuántos elementos de esta secuencia de orden n tienen denominador $k$ cuando la fracción $j/n$ ¿expresado en términos más bajos? Respuesta: si $k|n, \varphi(k)$ en caso contrario, cero. Esto está relacionado con la identidad de la suma del divisor que se da en la página de Wikipedia para la función totiente. Hay múltiples formas de comprobarlo, desde la directa hasta la inversión de Möbius.
También se puede ir en otras direcciones. Por ejemplo, si sus estudiantes están familiarizados con un poco de teoría de anillos, entonces puede explorar cómo no sólo es $\varphi$ una función multiplicativa, pero su multiplicatividad está estrechamente relacionada con el Teorema del Resto Chino sobre los enteros. Si $m, n$ son enteros positivos mayores que $1$ y $\gcd(m,n)=1$ entonces no sólo tenemos
$$\varphi(mn) = \varphi(m) \varphi(n),$$
pero tenemos el resultado más fuerte de que
$$\mathbb Z/mn\mathbb Z \cong \mathbb Z/m\mathbb Z × \mathbb Z/n\mathbb Z$$
que restringe a un isomorfismo de los grupos unitarios de los respectivos anillos:
$$U(\mathbb Z/mn\mathbb Z) \cong U(\mathbb Z/m\mathbb Z) × U(\mathbb Z/n\mathbb Z).$$
A grandes rasgos, esto significa que cuando $m, n$ son coprimos, no sólo el número de unidades modulo $mn$ el mismo que (el número de unidades modulo $m$ ) $\times$ (el número de unidades modulo $n$ ), pero también tenemos que una unidad módulo $mn$ es expresable de una manera única como el producto de una unidad modulo $m$ y un módulo de la unidad $n$ .
Si eres aún más ambicioso (y tienes tiempo suficiente), podrías incluso considerar posibles generalizaciones de la función totiente, también. Por ejemplo, ¿qué podría hacer algo como " $\varphi(1+4i)$ ¿"Significa"? Una idea natural sería intentar contar el número de unidades $|U(\mathbb Z[i]/(1+4i)\mathbb Z[i]|$ o el número de unidades de los enteros gaussianos módulo $1+4i$ . O, alternativamente, decir que $p$ es un primo integral positivo, y consideramos el anillo de polinomios $\mathbb Z/p\mathbb Z[x]$ . ¿Qué podría " $\varphi(p(x))$ ¿" significa en el contexto? Sugerencia: establecer $(p(x)) := |U(\mathbb Z/p\mathbb Z[x]/(p(x))|$ el tamaño del grupo de unidades para polinomios en una variable con coeficientes en $\mathbb Z/p\mathbb Z$ , todo ello modulando el polinomio $p(x)$ .
Espero que algo de lo anterior resulte útil. Buena suerte.
