Funciones discontinuas con la propiedad del valor intermedio

Question

Demuestre que cualquier función $f$ que no es continua en $[a,b]$ pero satisface la propiedad del valor intermedio, asume algún valor con infinita frecuencia.

Aquí $f$ tiene la propiedad de valor intermedio si:

siempre que $(c,d)$ es un subintervalo de $[a,b]$ , $f$ alcanza todos los valores entre $f(c)$ y $f(d)$ .

Estoy cerca de la respuesta. Sé que existe un $\epsilon$ tal que para todo $\delta_n = {1\over n}$ tenemos un $x_n$ tal que $|x_n-x_0|<1/n$ pero $|f(x_n)-f(x_0)| \geq \epsilon$ , donde $f$ no es continua en $x_0$ .

Me gustaría poder decir que podemos seleccionar estos $x_n$ para que $(f(x_n))$ es una secuencia de elementos distintos, y entonces se procede de alguna manera. ¿Cómo debo hacer esto, y es esta la forma correcta de hacerlo?

Answer 1

Su enfoque está bien. Para cada $n$ tienes un $x_n$ en $(x_0-\frac1n,x_0+\frac1n)$ de manera que $f(x_n)\ge f(x_0)+\epsilon$ o bien $f(x_n)\le f(x_0)-\epsilon$ . Ahora usa el IVP [*] para obtener un $y_n$ en $(x_0-\frac1n,x_0+\frac1n)$ tal que $f(y_n)$ es igual a $f(x_0)+\epsilon$ o $f(x_0)-\epsilon$ . Concluya que al menos uno de esos dos valores debe ser asumido con infinita frecuencia.

[*] Supongamos, por ejemplo, que $x_n\gt x_0$ . El PIV aplicado al intervalo $[x_0,x_n]$ dice que, en ese intervalo, $f$ asume todos los valores entre $f(x_0)$ y $f(x_n)$ . Si $f(x_n)\ge f(x_0)+\epsilon$ entonces $f(x_0)+\epsilon$ es uno de esos valores; si $f(x_n)\le f(x_0)-\epsilon$ entonces

Answer 2

Supongamos que $f$ satisface la conclusión de la IVT, es decir $f$ es una función de Darboux. Si $f$ toma cada valor un número finito de veces, entonces $f$ es continua.

Argumentamos por contradicción. Supongamos que $f$ no es continua, por lo que existe un $x_0$ y $\epsilon>0$ de tal manera que dado cualquier $\delta>0$ tenemos $0<|x-x_0|< \delta$ y $|f(x)-f(x_0)|> \epsilon$ . Entonces, o bien $|f(x)-f(x_0)|> \epsilon$ para un número infinito de $x>x_0$ o bien para infinitos $x<x_0$ (si no fuera el caso, podemos reducir el intervalo y $f$ sería continua), digamos la primera. Del mismo modo $f(x)-f(x_0)>\epsilon$ o $f(x)-f(x_0)<-\epsilon$ para un número infinito de $x$ , diga de nuevo el primero.

Así que hay infinitas $x>x_0$ tal que $f(x)-f(x_0)> \epsilon$ .

Dejemos que $a_1>x_0$ tal que $f(x_0)+\epsilon< f(a_1)$ . Desde $f$ es Darboux hay algún $b_1 \in (x_0, a_1)$ tal que $f(b_1)=f(x_0)+\epsilon$ . Ahora dejemos que $a_2\in (x_0,b_1)$ para que $f(x_0)+\epsilon< f(a_2)$ y, de nuevo, tenemos unos $b_2\in (x_0,a_2)$ para lo cual $f(b_2)=f(x_0)+\epsilon$ . Por inducción podemos tener $f(b_n)=f(x_0)+\epsilon$ para todos $n$ , donde $b_i\not= b_j$ si $i\not=j$ . Por lo tanto, $f$ asume $f(x_0)+\epsilon$ un número infinito de veces, una contradicción.