Hay muchos problemas de teoría de números como el siguiente:
(1) Encuentre todos los $m$ tal que $m=a^2+b^2$ o todos $m$ tal que $m=a^2+b^2+c^2$ , o incluso $m=a^2+b^2+c^2+d^2$ .
(2) Encuentre todos los $m$ tal que $m=a^3+b^3$ o todos $m$ tal que $m=a^3+b^3+c^3$ , o incluso $m=a^3+b^3+c^3+d^3$ .
(3) Encuentre todos los $m$ tal que $m=p_1+p_2$ o $m=p_1+p_2+p_3$ o incluso $m=p_1+p_2+p_3+p_4$ para los primos $p_i$ .
Parece que a medida que se permiten más variables, más posibles $m$ que puedes conseguir. Por ejemplo, hay Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange el hecho de que cada número es la suma de nueve cachorros positivos y el hecho de que todo número suficientemente grande puede escribirse como la suma de cuatro primos.
A la inversa, cuantas menos variables se permitan, menos $m$ y cuanto más difícil sea identificar qué $m$ se alcanzan. Sólo hay tantos números $m=a^2+b^2$ , sólo hay tantos números $m=a^3+b^3$ , y ciertamente $m=p_1+p_2$ excluye la mayoría de los números Impares y se desconoce si todos los enteros pares son de esta forma.
El problema de Waring establece que para cada $k$ existe un $n=g(k)$ tal que $m=\sum_{i=1}^m a_i^k$ siempre tiene una solución en los números naturales ( $\geq 1$ ). Parece posible generalizar esta idea. Mi pregunta es la siguiente:
Para algunos, el aumento de $f:N \to N$ , ( $N = \{x \in Z | z \geq 1\}$ ), digamos con $f(1) = 1$ y $\limsup f(x)/x^p < \infty$ para algunos $p$ ¿puede demostrar que existe un $M$ de manera que si $$G_M:N^M \to N, \qquad G(a_1,\dots, a_M) = \sum_{i=1}^M f(a_i)$$ entonces $G_M(N^M) = N$ ? En otras palabras, para cualquier $f$ ¿hay un $M$ tal que $$m = f(a_1) + \cdots + f(a_M)$$ tiene una solución? No me interesa el mínimo $M$ sólo que uno existe. También sé que si $f(x)= 2^{x-1}$ lo anterior falla cuando se considera $m=2^{a-1}$ .
Me parece que lo anterior no se ha demostrado en ninguna parte desde el Problema de Waring Goldbach parece estar abierto, pero ¿hay algún contraejemplo que alguien pueda inventar?
