Inversa de una matriz Toeplitz tridiagonal dispersa

Question

Estoy tratando de encontrar la inversa de la siguiente matriz simétrica definida positiva : $$ \left(\begin{array}{6*c} 4& 1&0 & &\cdots&0\\ 1& 4& 1& &\huge0& \vdots \\ 0& \ddots& \ddots& \ddots& & \\ \vdots && \ddots& \ddots& \ddots&0\\ & \huge 0 & & 1& 4& 1\\ 0& \cdots& &0& 1& 4 \end{array}\right) $$

Por supuesto, la inversa matemática de esta matriz es completa, sin embargo, numéricamente observé que la magnitud de los coeficientes de la matriz inversa están disminuyendo a un ritmo exponencial alrededor de la diagonal.

Lejos del efecto frontera ( es decir para $i$ suficientemente mayor que $1$ y menor que $n$ ) el patrón diagonal es el mismo hasta $10^{-20}$ : ( $\forall j, i \neq i', M^{-1}_{i'j} \approx M^{-1}_{ij} $ ). Además, compruebo empíricamente que este comportamiento no depende de la dimensión del sistema lineal $n$ (mismo patrón).

¿Tiene alguna pista para justificar esta observación? O mejor, ¿una forma analítica para calcular esta inversa?

Salud,

Leo.

Answer 1

Las fórmulas explícitas para la inversión de matrices tridiagonales se pueden encontrar en muchos lugares, por ejemplo, https://link.springer.com/article/10.1007/BF01396436

Un Toeplitz tridiagonal es sólo un caso especial. Véase, por ejemplo, en https://core.ac.uk/download/pdf/144007569.pdf página 15.