El método de Gauss-Seidel es una técnica para resolver N ecuaciones lineales en N incógnitas, dado un punto de inicio inicial. https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Gauss-Seidel
¿Cuáles son las ventajas de usar este método, cuando siempre se pueden encontrar soluciones usando la inversa de una matriz?
El cálculo de la inversa de una matriz a menudo no es utilizable, por ejemplo, si se quiere resolver sistemas lineales de ecuaciones con un millón o incluso mil millones de incógnitas, esa sería una operación muy lenta.
A menudo, estas matrices muy grandes tienen solo unos pocos elementos no nulos, en tales casos se cambia la estrategia para resolver de exacta a aproximada.
Un algoritmo prominente es el método del gradiente conjugado, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_gradient_method, y su variante precondicionada. Uno o más pasos del método Gauss Seidel a menudo se utilizan para la variante precondicionada del método del gradiente conjugado, como medio para esa precondición.
El método Gauss Seidel y su primo el método de Jacobi, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_method, son algoritmos básicos para la solución aproximada de sistemas lineales de ecuaciones, y se utilizan como bloques de construcción para algoritmos más complicados.
Pero el método de Gauss-Seidel todavía necesita calcular la inversa de una matriz triangular inferior....
@mkuse, ¡Definitivamente no!. Verifica el enlace de wiki en la pregunta. Para el método estándar de Gauss Seidel solo necesitas $1/a_{ii}$, siendo una simple división escalar. Aunque debo admitir que existe una variante en bloque, donde debes proporcionar de alguna manera los inversos de los bloques diagonales de tus matrices.
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Como regla general, nunca debes formar explícitamente la inversa de una matriz.