¿Cómo simplificar una expresión polinómica?

Question

Supongamos que tengo una expresión polinómica como:

$2 - 3x + x^3 $

¿Cómo simplifico la expresión anterior a:

$(1 - x)^2(2 + x)$

Answer 1

Al calcular las raíces (si es posible). Si las raíces de un polinomio mónico $p(x)$ de grado $n$ son $r_1,\ldots,r_n$, entonces $p(x)=(x-r_1)\ldots(x-r_n)$.

En tu caso, solo tienes dos raíces, $1$ y $-2$. Por lo tanto, calcula $\frac{x^3-3x+2}{(x-1)(x+2)}$.

Answer 2

Primero, intenta encontrar una raíz del polinomio. Puedes verificar directamente que $1$ es una raíz. Luego usa división de polinomios para obtener $$ x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2). $$ Para el polinomio cuadrático puedes usar una fórmula para obtener las raíces $1$ y $-2$. Por lo tanto, obtienes $$ x^2+x-2=(x-1)(x+2). $$ Finalmente, $$ x^3-3x+2=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)^2(x+2). $$

Answer 3

En este caso, donde conoces la expresión final, puedes sumar y restar de tal manera que obligue a que los términos de la expresión final aparezcan. Por ejemplo, para hacer que $2+x$ aparezca, tenemos: \begin{align*} 2-3x+x^3&=2+\color{red}{x}-\color{red}{x}-3x+x^3\\ &=2+x-4x+x^3\\ &=2+x-4x-\color{red}{2x^2}+\color{red}{2x^2}+x^3\\ &=(2+x)-2x(2+x)+x^2(2+x)\\ &=(2+x)(1-2x+x^2). \end{align*} Cada vez que ocurre una $\color{red}{\text{suma}}$ y $\color{red}{\text{resta}}$, lo hace de tal manera que induce a que ocurra $x+2$. Ahora puedes hacer lo mismo con $1-2x+x^2$ para que aparezca $1-x$: $$ 1-2x+x^2=1-\color{red}{x}+\color{red}{x}-2x+x^2=1-x-x+x^2=(1-x)-x(1-x)=\ldots $$ ¿Cómo se sabe que $2+x$ es un factor de $2-3x+x^3$? En general, $px+q$ con $p\neq 0$ es un factor de un polinomio $P(x)$ si y solo si $-\frac{q}{p}$ es una raíz de $P(x)$. Y para encontrar tales $p$ y $q$, puedes consultar el teorema de la raíz racional.