problema con la oda $f' = a \delta (x) f$

Question

La primera solución es

$$f(0^+) = \exp\left(a \int_{0^-}^{0^+} dx \delta (x)\right) f(0^-) = \exp(a) f(0^-) .$$

La segunda solución es

$$ f(0^+) - f(0^-) = a \int_{0^-}^{0^+} dx \delta (x) f(x) = \frac{a}{2}(f(0^+ ) +f(0^-)) ,$$

lo que lleva a

$$f(0^+) = \frac{1 + a/2}{1 - a/2} f(0^-) . $$

Los dos enfoques dan resultados diferentes.

¿Cuál es la correcta? Yo soy partidario de la segunda. Pero, ¿alguien puede justificarlo y señalar el defecto de la primera?

Answer 1

Heurística e ingenuamente, uno podría estar tentado de escribir $f'(x)=0$ para $x\ne0$ . Por lo tanto, deducimos que para algunas constantes $A$ y $B$ , $f(x)=A$ para $x<0$ y $f(x)=B$ para $x>0$ .

Pero entonces tendríamos $f(x)=A+(B-A)H(x)$ lo que sugiere que para $a\ne 0$

$$(B-A)\delta(x) =a(A+(B-A)H(x))\delta(x)$$

En la medida en que no hay un significado asignable a la distribución del producto $H(x)\delta(x)$ la única solución posible es la solución trivial $f(x)\equiv 0$

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Intentemos una solución a la EDO original utilizando un enfoque de regularización. Procediendo, dejamos que $f_n(x)$ se defina por la EDO

$$f_n'(x)=a\delta_n(x)f_n(x)$$

donde $\delta_n(x)$ es cualquier regularización de $\delta(x)$ . La solución es

$$f_n(x)=f_{-\infty}\,e^{a\int_{-\infty}^x \delta_n(t)\,dt}$$

por lo que dejar $n\to \infty$ revela que

$$f(x)=f_{-\infty}e^{aH(x)}\tag 1$$

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NOTA:

Observamos que la función $f$ como se indica en $(1)$ es discontinua y no está definida de forma única en $0$ . Además, el candidato de su derivada distributiva,

$$f'(x) =a\underbrace{f_{-\infty}e^{aH(x)}}_{\text{a discontinuous function at}\,0}\,\times \underbrace{ \delta(x)}_{\text{The Dirac Delta}}$$

no tiene sentido.

Otra forma de ver esto, es observar que $(1)$ implica que $f$ puede escribirse como la función discontinua

$$f(x)=\begin{cases}f_{-\infty}&,x<0\\\\f_{-\infty}e^a&,x>0\end{cases}\tag2$$

Y si $(2)$ es así, podemos escribir

$$f(x)=f_{-\infty}\left(1+(e^a-1)H(x)\right)\tag3$$

Pero desde $(3)$ la derivada distributiva de $f$ es

$$f'(x)=f_{-\infty }(e^a-1)\delta(x)$$

Entonces, la EDO original implicaría que $(e^a-1)\delta(x)=\left(1+(e^a-1)H(x)\right)\delta(x)$

que no tiene sentido debido a la aparición de $H(x)\delta(x)$ .