Criterio para $\forall\exists$ -axiomatizabilidad.

Question

Estoy atascado en el siguiente ejercicio:

Dejemos que $T$ sea una teoría con la siguiente propiedad: para todos los modelos $M$ , $N$ y $P$ de $T$ si $M \subset P$ , $N \subset P$ y $M \cap N \neq \emptyset$ entonces $M \cap N \models T$ . Demostrar que $T$ es $\forall\exists$ -axiomatizable.

Sé que según el teorema de Chang-Los-Suszko basta con demostrar que $T$ es estable con respecto a la unión de cadenas de modelos, pero no veo cómo ayuda la condición dada.

¿Alguna pista? Gracias.

Answer 1

Supongamos que $M_0\subseteq M_1\subseteq M_2\subseteq \dots$ es una cadena de modelos de $T$ y que $M$ sea la unión. Como ha señalado en la pregunta, basta con demostrar que $M$ es un modelo de $T$ .

En primer lugar, utilice la compacidad para demostrar que $T\cup \text{Diag}(M)$ es consistente, por lo que $M$ es una subestructura de un modelo $N_1\models T$ .

En segundo lugar, mostrar que hay modelos $N_2\models T$ y $N_3\models T$ tal que $N_1\subseteq N_3$ y $N_2\subseteq N_3$ y $M = N_1\cap N_2$ .

Una pista: Comenzar con el $L(N_1)$ -teoría $T\cup\text{Diag}(N_1)$ . Añadir una relación unitaria $P$ al lenguaje, y añadir axiomas que digan que $P$ elige una subestructura $N_2$ que es un modelo de $T$ y $N_1\cap N_2 = M$ . Acabado por compactación.