2 preguntas de álgebra lineal

Question

Estoy tratando de encontrar un ejemplo de una función de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ que no es lineal. Entonces, ¿sería algo así como una parábola o más bien una línea vertical?

Además, estoy tratando de encontrar una línea, $L$ , donde $f(L)$ no es una línea recta. Esto me tiene perplejo. ¿Se supone que tengo que demostrarlo y no estoy seguro de poder pensar en uno?

No pretendo que la gente me resuelva los problemas, pero se agradece algún consejo sobre por dónde empezar o cómo pensar y formular una respuesta.

Answer 1

Pista para la primera pregunta : ¿Puede demostrar que $f(x)=x+1$ no es una función lineal de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ ? ¿Se puede generalizar esto a una función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$ ?

Pista para la segunda pregunta : ¿Puedes encontrar una función de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ que envía la línea real a un punto? ¿Puedes generalizar este resultado a una función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$ ?

Answer 2

Esta no es la respuesta solicitada . Es una explicación que, con suerte, puede darte una comprensión más intuitiva para ayudarte a elaborar tus pruebas.

Una función lineal es cualquier función que satisface dos propiedades: $ \gamma f(\vec x)= f(\gamma \vec x) $ y $ f(\vec x + \vec y)= f( \vec x)+ f(\vec y)$ donde $\vec x \vec y $ son vectores y $\gamma $ es un escalar.

Tu instinto de pensar en una parábola es correcto. Lo que quieres es una función que no satisfaga las dos propiedades. Básicamente una función lineal es una función que geométricamente hablando puede estirar y cambiar las direcciones de los vectores pero no transforma una línea recta en una gráfica cualquiera con una curvatura. Esto tiene que ver con el hecho de que la primera propiedad $ \gamma f(\vec x)= f(\gamma \vec x) $ sólo estira o contrae las líneas y por el segunda propiedad $ f(\vec x + \vec y)= f( \vec x)+ f(\vec y)$ que todos los puntos de un espacio vectorial se mantienen a una distancia proporcional tras una transformación lineal.

I muy recomendable Mira este video que utiliza una infografía muy elegante para hacer este punto de manera intuitiva que habla sobre el movimiento geométrico de las funciones lineales:

https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE&index=4&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

** También una función lineal siempre mapea un $\vec 0 $ a $\vec 0$ por lo que la solución de JMoravitz funciona.

Para su segunda pregunta es básicamente lo mismo que la primera. Sugerencia $f(x)= e^x$ que asigna el eje x, una línea recta, a la curva de $e^x$ . Ahora piensa en esto con el contexto de $\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$ .

Espero que esto ayude.