Para todo entero positivo $n$ demostrar la igualdad: $\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\binom{n-1}{k}^2}{k+1}=\frac{\binom{2n}{n}}{2n}$

Question

Para todo entero positivo $n$ demostrar la igualdad: $$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\binom{n-1}{k}^2}{k+1}=\frac{\binom{2n}{n}}{2n}$$

Mi trabajo hasta ahora:

$$\frac{n\binom{n-1}{k}}{k+1}=\frac{n(n-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\binom{n}{k+1}$$