Poner un ejemplo de conjuntos $X,Y$ y funciones $f:X→Y$ y $g:Y →X$ tal que $g \circ f = id_X$

Question

Poner un ejemplo de conjuntos $X,Y$ y funciones $f:XY$ y $g:Y X$ tal que $g \circ f = id_X$ pero $f$ no es invertible, y $id_X$ es la función de identidad de $x$ .

No estoy seguro de cómo empezar este problema, porque no sé cómo hacer dos funciones $f$ y $g$ tal que $g \circ f = id_X$ . ¿Existe alguna clave para crear funciones de manera que esto sea cierto?

Answer 1

Las condiciones exigen $f$ para ser uno a uno, una inyección $X \to Y$ . Sea $X = Y = \mathbb{N}$ y $f(n) = n + 1$ para todos $n \in \mathbb{N}$ . Ahora defina $g(m) = m - 1$ si $m > 0$ y $g(0) = 0$ .

Answer 2

• $f$ tiene sea inyectiva, porque de lo contrario existirían distintas $x,x' \in X$ tal que $f(x)=f(x')$ y por lo tanto $g(f(x))=g(f(x'))$ , lo que implica $x=x'$ una contradicción.
• Por lo tanto, $f$ no puede sea surjetivo, porque si lo fuera entonces $f$ sería una biyección, y por tanto invertible.

¿Cuál es la forma más sencilla de que esto ocurra? Hacer $X=\{a\}$ y $Y=\{b,c\}$ . Definir $f(a)=b$ y $g(b)=g(c)=a$ . Entonces afirmamos $g \circ f = id_{X}$ . Bueno, sólo tenemos que comprobar $(g \circ f)(a)=a$ . Pero eso es fácil: $g(f(a))=g(b)=a$ . Hecho.

Tal $g$ siempre existe si $f$ es inyectiva. ¿Por qué? Bueno, ser inyectivo significa que si sabemos $f(x)$ podemos encontrar $x$ . En otras palabras, existe una función $h$ del conjunto $\{f(x) | x \in X\}\subset Y$ (el imagen de $f$ ), a $X$ que envía $f(x)$ a $x$ . La condición de inyectividad es precisamente que esta función $h$ está bien definida.

Pero eso no ha bastante respondió a la pregunta, porque queríamos una función $g :Y \to X$ . Así que tenemos que definir $g$ en todos los puntos de $Y$ que $f$ no pega. Pero a quién le importa ¡! $g \circ f$ no 've' puntos en $Y$ que no son a imagen y semejanza de $f$ . Por lo tanto, defina $g$ para ser lo que quieras allí. (Tenga en cuenta que si $Y$ tiene al menos un punto que no está en la imagen de $f$ y $X$ tiene más de un punto, entonces la elección de $g$ no será único).