La topología definida por la familia de pseudodistancias.

Question

Una pseudométrica (aka. pseudodistancia) es una métrica excepto que tal vez $x \neq y$ pero $d(x,y) = 0$ .

Considere una familia $(d_a)_{a \in A}$ de pseudometría en un conjunto $E$ . Para cada $x \in E$ y cada familia finita $(a_j)_{j=1\dots m} \subset A$ y la familia finita $(r_j)_{j = 1\dots m} \subset \Bbb{R}_{\gt 0}$ , definir la "bola" $B(x; (a_j), (r_j)) = \{y\in E : d_{a_j}(x,y) \lt r_j \text{ for } 1 \leq j \leq m\}$ .

Dejemos que $\mathfrak{D}$ denotan el conjunto de todos los subconjuntos $U$ de $E$ tal que para todo $x \in U$ hay una de esas "bolas" $B(x; \dots) \subset U$ . Entonces se verifica inmediatamente que $\mathfrak{D}$ es una topología en $E$ . Veo el $\varnothing, E \in \mathfrak{D}$ parte, pero teniendo problemas con la intersección finita de dos $U$ 's: $U_1 \cap U_2 \in \mathfrak{D}$ cuando ambos $U_1, U_2$ son. Cómo elegir las familias finitas $(a_j), (r_j)$ para que la bola resultante $B(x; \dots) \subset U_1 \cap U_2$ para cualquier $x \in U_1 \cap U_2$ ?

Está claro que no podemos intersecar la familia para $x \in U_1$ con la familia para $x \in U_2$ ¿podemos? Ya que la intersección podría estar vacía y eso no hace mucha bola. Estos problemas me tienen por las pelotas. lol

Gracias.

Answer 1

Cada $B(x; (a_j), (r_j)) = B(x; a_1, r_1) \cap B(x; a_2, r_2) \cap \dots \cap B(x; a_m, r_m)$ claramente. Toma unas pelotas $B_1 \subset U_1$ y $B_2 \subset U_2$ cada uno de los cuales contiene $x$ y los intersectan para obtener otra bola de este tipo. Así que fue la unión de las familias $(a_j, r_j)^1,(a_j, r_j)^2$ ¡después de todo!