Pregunta sobre la demostración del teorema del límite de Abel

Question

Que sea $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kx^k$ una serie de potencias con $a_k\in\mathbb{R}$ radio de convergencia $0<R<\infty$ y asumir que $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kR^k$ existe.

Entonces, el teorema del límite de Abel establece:

$\lim\limits_{x\to R-}\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kx^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kR^k$ (continuidad desde la izquierda).

He trabajado con la prueba y lo he conseguido hasta ahora - excepto que nuestro profesor comienza con la simplificación "sin pérdida de generalidad asumimos $R=1$ ". Debido a esta suposición, todas las manipulaciones posteriores se vuelven mucho más fáciles. Pero, ¿por qué se le permite suponer eso?

Answer 1

Si podemos mostrar esto para un radio de $1$ entonces podemos mostrar $$ \begin{align} \lim_{x\to R^-}\sum_{k=0}^\infty a_kx^k &=\lim_{x\to R^-}\sum_{k=0}^\infty\left(a_kR^k\right)\frac{x^k}{R^k}\tag1\\ &=\lim_{u\to 1^-}\sum_{k=0}^\infty\left(a_kR^k\right)u^k\tag2\\ &=\sum_{k=0}^\infty\left(a_kR^k\right)\tag3 \end{align} $$ Explicación:
$(1)$ : $1=\frac{R^k}{R^k}$
$(2)$ : sustituto $u=\frac xR$
$(3)$ Aplicar el teorema para un radio de $1$

Answer 2

Supongamos que el teorema es cierto para $R=1$ . Ahora dejemos que $R>0$ y para $|x|<R$ escribir $x=Ry$ con $|y|<1$ .

Tenemos $\lim_{x\to R^-}\sum a_kx^k=\lim_{y\to1^-}\sum a_kR^ky^k=\sum a_kR^k$ porque $a_kR^k$ es real y $\sum a_kR^k$ converge.